Calculadora De Area Entre Curvas

Para encontrar el área entre las curvas, la calculadora de area entre 2 curvas determina los puntos donde se intersecan las dos curvas y luego integra la diferencia entre las dos funciones en ese intervalo.

Las ecuaciones dadas son:

$$ 2x^2 + 4x + y \;=\; 0 \; (Ecuación\; 1) $$

$$ y \;=\; 2x \; (Ecuación\; 2) $$

Reordene la ecuación 1 para y:

De la ecuación 1:

$$ y \;=\; -2x^2 - 4x $$

Entonces, las curvas con las que estamos tratando son:

$$ y \;=\; -2x^2 - 4x\; (parábola) $$

$$ y \;=\; 2x (línea) $$

Encuentra los puntos de intersección: Para encontrar los puntos donde se intersecan las curvas, establezca las dos ecuaciones para y iguales entre sí:

$$ -2x^2 - 4x \;=\; 2x $$

Resolver para x:

$$ -2x^2 - 4x - 2x \;=\; 0 $$

$$ -2x^2 - 6x \;=\; 0 $$

$$ -2x(x + 3) \;=\; 0 $$

Las soluciones son:

$$ x \;=\; 0 \;or\; x \;=\; -3 $$

Por lo tanto, los puntos de intersección están en x = 0 y x = -3.

Plantea la integral: El área entre las curvas está dada por la integral de la diferencia entre la función superior y la función inferior desde x = -3 hasta x = 0. La función superior es y = 2x y la función inferior es y = -2x² - 4x. Por lo tanto, el área A es:

$$ A \;=\; \int_{-3}^{0} (2x - (-2x^2 - 4x))\; dx $$

$$ A \;=\; \int_{-3}^{0} (2x + 2x^2 + 4x)\; dx $$

$$ A \;=\; \int_{-3}^{0} (2x^2 + 6x)\; dx $$

Calcular la integral: Ahora, calculemos la integral para encontrar el área.

$$ x \;=\; símbolos\; ('x') $$

Ahora, calculemos la integral para definir la función a integrar y encontrar el área.

$$ f \;=\; 2 \times x \times 2 + 6 \times x $$

Calcular la integral de -3 a 0,

$$ área \;=\; integrar(f, (x, -3, 0)) \;=\; 9 $$

El área entre las curvas y = −2x² −4x e y = 2x entre x = −3 y x = 0 es 9 unidades cuadradas.

Para encontrar el área entre las curvas y = x² e y = 2x - x², la calculadora areas entre curvas encuentra:

1. Encuentra los puntos de intersección entre las dos curvas.
2. Establece una integral para el área entre las curvas en el intervalo definido por los puntos de intersección.

Encuentra los puntos de intersección: Las dos ecuaciones son:

$$ y \;=\; x^2\; (parábola\; 1) $$

$$ y \;=\; 2x - x^2\; (parábola\; 2) $$

Iguala las dos ecuaciones entre sí para encontrar los puntos de intersección:

$$ x^2 \;=\; 2x - x^2 $$

Reordena la ecuación:

$$ x^2 + x^2 - 2x \;=\; 0 $$

$$ 2x^2 - 2x \;=\; 0 $$

$$ 2x(x - 1) \;=\; 0 $$

Entonces la solución es:

$$ x \;=\; 0 \;or\; x \;=\; 1 $$

Por tanto, las curvas se intersecan en x = 0 y x = 1.

Configurar la integral: El área entre las curvas está dada por la integral de la diferencia entre la función superior y la función inferior desde x = 0 hasta x = 1. La función superior es y = 2x − x² y la función inferior es y = x². Por lo tanto, el área A es:

$$ A \;=\; \int_0^1 ((2x - x^2) - x^2)\; dx $$

$$ A \;=\; \int_0^1 (2x - 2x^2)\; dx $$

Calcular la integral: Calculemos la integral para encontrar el área.

$$ f\; área \;=\; 2 \times x - 2 \times x \times 2 $$

Calcular la integral de 0 a 1:

$$ área\; entre\; curvas \;=\; integrar(f\; área, (x, 0, 1)) $$

$$ área\; entre\; curvas \;=\; \frac{1}{3} $$

Para encontrar el área entre las curvas y = 2x² e y = x, veamos cómo la calculadora area entre dos curvas lo resuelve paso a paso.

Encuentra los puntos de intersección: Nos dan las curvas:

$$ y \;=\; 2x^2 $$

$$ y \;=\; x $$

Igualarlos para encontrar los puntos de intersección:

$$ 2x^2 \;=\; x $$

Reordena la ecuación:

$$ 2x^2 - x \;=\; 0 $$

$$ x(2x - 1) \;=\; 0 $$

Esto da dos soluciones:

$$ x \;=\; 0 \;or\; x \;=\; \frac{1}{2} $$

Por lo tanto, las curvas se intersecan en x = 0 y x = 1/2.

Plantea la integral: El área entre las curvas es la integral de la diferencia entre la función superior y la función inferior en el intervalo [0,12]. La función superior es y = x y la función inferior es y = 2x². Por lo tanto, el área A es:

$$ A \;=\; \int_0^{\frac{1}{2}} (x - 2x^2)\; dx $$

Resolver la integral: Ahora calculamos la integral:

$$ A \;=\; \int_0^{\frac{1}{2}} x\; dx - \int_0^{\frac{1}{2}} 2x^2\; dx $$

Primera integral:

$$ \int \; dx \;=\; \frac{x^2}{2} $$

Evaluar de 0 a 1/2:

$$ \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\frac{1}{2}} \;=\; \frac{ \left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} - \frac{0^2}{2} \;=\; \frac{1}{8} $$

Segunda integral:

$$ \int 2x^2 dx \;=\; \frac{2x^3}{3} $$

Evaluar de 0 a 1/2:

$$ \left[\frac{2x^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{2}} \;=\; \frac{2 \left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} - 0 \;=\; \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} \;=\; \frac{1}{12} $$

Calcular el área: Ahora resta los dos resultados:

$$ A \;=\; \frac{1}{8} - \frac{1}{12} $$

Para restarlos, encuentre un denominador común:

$$ A \;=\; \frac{3}{24} - \frac{2}{24} \;=\; \frac{1}{24} $$

El área entre las curvas y = 2x² e y = x desde x = 0 hasta x = 1/2 es 1/24 unidades cuadradas.

Para encontrar el área de la región sombreada entre las curvas f(x) = x + 2 y g(x) = -x² - 2, la calculadora areas entre curvas realiza la siguiente operación:

1. Determinar los puntos de intersección de las dos curvas.
2. Establecer la integral para calcular el área entre las curvas en el intervalo definido por los puntos de intersección.

Encuentra los puntos de intersección: Las funciones son:

$$ f(x) \;=\; x + 2\; (a\; ecuación lineal) $$

$$ g(x) \;=\; -x^2 - 2\; (a\; parábola\; de\; apertura\; hacia\; abajo) $$

Iguala las dos ecuaciones entre sí para encontrar los puntos de intersección:

$$ x + 2 \;=\; -x^2 - 2 $$

Reordena la ecuación:

$$ x + 2 + x^2 + 2 \;=\; 0 $$

$$ x^2 + x + 4 \;=\; 0 $$

Esta es una ecuación cuadrática. Para calcular x, utilice la fórmula cuadrática:

$$ x \;=\; \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Para la ecuación x² + x + 4 = 0, los coeficientes son a = 1, b = 1 y c = 4:

$$ x \;=\; \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} $$

$$ x \;=\; \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2} $$

$$ x \;=\; \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2} $$

Como el discriminante es negativo √−15, la ecuación no tiene soluciones reales, lo que significa que las curvas no se intersecan en el plano de números reales.

Para encontrar el área entre las curvas y = sen x e y = cos x, la calculadora de area entre 2 curvas encuentra:

• Encuentra los puntos de intersección entre las dos curvas.
• Establece una integral para calcular el área entre las curvas en el intervalo definido por estos puntos de intersección.

Encuentra los puntos de intersección: Queremos resolver x donde senx = cosx. Dividimos ambos lados por cos x (donde cos⁡ x ≠ 0):

$$ \frac{sin\; x}{cos\; x} \;=\; 1 $$

Esto se simplifica a:

$$ tan\; x \;=\; 1 $$

La solución general de esta ecuación es:

$$ x \;=\; \frac{\pi}{4} + n \pi\; para\; entero\; n $$

Para que el intervalo sea manejable, centrémonos en la primera intersección entre y = sen⁡ x e y = cos ⁡x dentro de un período. La primera intersección se produce en:

$$ x \;=\; \frac{\pi}{4} $$

Establecer los límites de la integración: Para hallar el área, integraremos entre los dos puntos donde sen x y cos x se cruzan en un periodo completo. Esto sucede entre x = 0 y x = π/2, ya que estas funciones son simétricas en este intervalo y darán el área total entre las curvas.

Configurar la integral: El área A entre las curvas está dada por la integral del valor absoluto de la diferencia entre sen⁡ x y cos ⁡x de x = 0 a x = π/2.

Como cos ⁡x está por encima de sen ⁡x en el intervalo [0, π/4], y sen ⁡ x está por encima de cos ⁡x en el intervalo [π/4, π/2], necesitamos dividir la integral en dos partes:

$$ A \;=\; \int_0^{\frac{\pi}{4}} (cos\; x - sin\; x)\; dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (sin\; x - cos\; x)\; dx $$

Calcular las integrales:

Primera integral:

$$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} (cos\; x - sin\; x)\; dx $$

Segunda integral:

$$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (sin\; x - cos\; x) dx $$

Ahora, resolvamos estas integrales.:

• La integral de cos ⁡x es sen ⁡x.
• La integral de sen ⁡x es −cos ⁡x.

Entonces la solución procede de la siguiente manera:

Primera integral:

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (cos\; x - sin\; x)\; dx \;=\; [sin\; x + cos\; x]_0^{\frac{\pi}{4}} $$

Evaluando esto en los límites 0 y π/4:

$$ \left(sin\; \frac{\pi}{4} + cos\; \frac{\pi}{4} \right) - (sin\; 0 + cos\; 0) $$

$$ \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - (0 + 1) $$

$$ =\; \sqrt{2} - 1 $$

Segunda integral:

$$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (sin\; x - cos\; x)\; dx \;=\; [-cos\; x - sin\; x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} $$

Evaluando esto en los límites π/4 y π/2:

$$ \left(-cos \frac{\pi}{2} - sin \frac{\pi}{2} \right) - \left(-cos \frac{\pi}{4} - sin \frac{\pi}{4} \right) $$

$$ =\; (-0 - 1) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$

$$ =\; -1 + \sqrt{2} $$

Añadir los resultados: Ahora, suma los resultados de las dos integrales:

$$ A \;=\; (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) $$

$$ A \;=\; 2\sqrt{2} - 2 $$

El área entre las curvas y = sin⁡x e y = cos⁡x en el intervalo de x = 0 a x = π/2 es 2√2−2 unidades cuadradas.

Para hallar el área bajo la curva g(x) = x + 2x + cos⁡x desde x = π hasta x = 2π, la calculadora areas entre curvas calcula la integral definida de g(x) en el intervalo [π,2π]. La función es:

$$ g(x) \;=\; x + 2x + cos\;x \;=\; 3x + cos\; x $$

Entonces, tenemos la tarea de calcular la integral:

$$ A \;=\; \int_{\pi}^{2 \pi} (3x + cos\; x)\; dx $$

Dividir la integral: Podemos dividir la integral en dos partes más simples:

$$ A \;=\; \int_{\pi}^{2 \pi} 3x\; dx + \int_{\pi}^{2 \pi} cos\; x \; dx $$

Calcular cada integral:

Primera integral:

$$ \int 3x\; dx \;=\; \frac{3x^2}{2} $$

Evalúe esto en los límites x = π y x = 2π:

$$ \left[\frac{3x^2}{2} \right]_{\pi}^{2 \pi} \;=\; \frac{3(2 \pi)^2}{2} - \frac{3(\pi)^2}{2} $$

$$ =\; \frac{3(4 \pi^2)}{2} - \frac{3(\pi^2)}{2} \;=\; 6 \pi^2 - \frac{3 \pi^2}{2} \;=\; \frac{9 \pi^2}{2} $$

Segunda integral:

$$ \int cos\; x\; dx \;=\; sin\; x $$

Evalúe esto en los límites x = π y x = 2π:

$$ [sin\; x]_{\pi}^{2 \pi} \;=\; sin(2 \pi) - sin(2 \pi) \;=\; 0 - 0 \;=\; 0 $$

Añadir los resultados: Ahora, suma los resultados de las dos integrales:

$$ A \;=\; \frac{9 \pi^2}{2} + 0 \;=\; \frac{9 \pi^2}{2} $$