Calculadora de División Larga

La regla de división para integrales está relacionada con la integración de un cociente de dos funciones. A diferencia de la diferenciación, no existe una regla de cociente simple para integrales, a diferencia de lo que ocurre con las derivadas. En cambio, para integrar una división de dos funciones, la calculadora división larga suele utilizar diferentes métodos, según la forma de las funciones. Las técnicas comunes incluyen:

• Sustitución (sustitución u): Esto es útil cuando sustituir una variable puede simplificar el integrando (la función que se está integrando).

$$ \int \frac{f’(x)}{f(x)} dx \;=\; ln |f(x)| + C $$

This rule applies when the numerator is the derivative of the denominator or some multiple of it.

• Integración por partes: Este método es útil cuando el cociente involucra productos de funciones que no son fácilmente separables.

$$ \int u\; dv \;=\; uv - \int v\; du $$

A veces se puede utilizar para cocientes expresando una función como producto de funciones y aplicando la regla.

• Descomposición en fracciones parciales: Cuando el denominador es un polinomio, las fracciones parciales pueden simplificar el cociente en fracciones más simples que son más fáciles de integrar.

Cada caso se maneja de forma diferente y la técnica más adecuada depende de la estructura de la función en el numerador y el denominador.

Para realizar una división larga en una integración que involucra x²/d(x), la calculadora divisiones largas generalmente utiliza la división larga cuando se divide un polinomio por otro. Consideremos dividir x² por x+1 y luego integrar. Los pasos para la división larga de x²/x+1 son:

• Dividir x² por x lo que da x:
• Multiplica x por x + 1, obteniendo $$ x(x + 1) \;=\; x^2 + x $$
• Resta (x²) de x², lo que deja -x.
• Dividir -x por x, dando como resultado -1.
• Multiplica -1 por x + 1, obteniendo $$ -(x + 1) \;=\; -x - 1 $$
• Resta (-x - 1) de -x, lo que deja 1.
• Así pues, tenemos:

$$ frac{x^2}{x+1} = x - 1 + frac{1}{x + 1} $$

Integración:

Ahora podemos integrar cada término:

$$ \int \left(x - 1 + \frac{1}{x + 1} \right) dx $$

$$ \int x\; dx \;=\; \frac{x^2}{2} $$

$$ \int -1 dx \;=\; -x $$

$$ \int \frac{1}{x + 1} dx \;=\; ln |x + 1| $$

Entonces, el resultado integrado final es:

$$ \frac{x^2}{2} - x + ln|x + 1| + C $$

Donde C es la constante de integración.

Para realizar una división larga seguida de una integración de x³/d(x), necesitamos tanto el numerador x³ como un polinomio denominador por el cual dividir. Supongamos que desea dividir x³ por un polinomio lineal o cuadrático. Para este ejemplo, la división larga calculadora divide x³ por x+1 y luego integra el resultado. La división larga paso a paso de x³/x+1 es:

• Divida x³ por x, lo que da x².
• Multiplica x² por x + 1, obteniendo x²(x + 1) = x³ + x².
• Restar (x³+ x²) de x³, dejando -x².
• Divida -x² por x, lo que da -x.
• Multiplica -x por x + 1, obteniendo -x(x + 1) = -x² - x.

• Restar (-x² - x) de -x², dejando x.
• Dividir x por x da como resultado 1
• Multiplica 1 por x + 1, obteniendo x + 1.
• Restar (x + 1) de x, dejando 1.

Así pues, tenemos:

$$ \frac{x^3}{x + 1} \;=\; x^2 - x + 1 - \frac{1}{x + 1} $$

Integración:

Ahora, podemos integrar cada término:

$$ \int \left( x^2 - x + 1 - \frac{1}{x + 1} \right) dx $$

$$ \int x^2 dx \;=\; \frac{x^3}{3} $$

$$ \int -x\; dx \;=\; -\frac{x^2}{2} $$

$$ \int 1dx \;=\; x $$

$$ \int - \frac{1}{x + 1} dx \;=\; -ln|x + 1| $$

Entonces, el resultado final es,

$$ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - ln|x + 1| + C $$

Donde C es la constante de integración.

Para hallar la integral de división larga de x⁴/x + 1, la calculadora división larga primero realiza la división larga y luego integra el resultado. La división larga de x⁴/x + 1 paso a paso es:

• Divida x⁴ por x, lo que da x³.
• Multiplique x³ por x + 1, lo que da x³(x + 1) = x⁴ + x³.
• Restar (x⁴+ x³) de x⁴, lo que da -x³.
• Dividir -x³ por x, lo que da -x².
• Multiplicar -x² por x + 1, lo que da -x²(x + 1) = -x³ - x².
• Restar (-x³ - x²) de -x³, quedando x².
• Dividir x², lo que da x.
• Multiplicar x por x + 1, lo que da x(x + 1) = x² + x.
• Restar (x² + x) de x², quedando x.
• Dividir -x por x, lo que da -1.
• Multiplicar -1 por x + 1, lo que da -(x + 1) = -x - 1.
• Restar (-x - 1) de -x, quedando 1.

Así pues, tenemos:

$$ \frac{x^4}{x+1} \;=\; x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x + 1} $$

Integración:

Ahora podemos integrar cada término:

$$ \int \left(x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x + 1} \right) dx $$

$$ \int x^3 dx \;=\; \frac{x^4}{4} $$

$$ \int -x^2 dx \;=\; -\frac{x^3}{3} $$

$$ \int x\; dx \;=\; \frac{x^2}{2} $$

$$ \int -1 dx \;=\; -x $$

$$ \int \frac{1}{x + 1} dx \;=\; ln |x + 1| $$

Entonces, el resultado integrado final es:

$$ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + ln |x + 1| + C $$

Donde C es la constante de integración.

La división larga en la integración se utiliza cuando se tiene una función racional (una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios) y el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. La división larga ayuda a descomponer dichas funciones racionales en una forma más simple que es más fácil de integrar.

Cuándo utilizar la división larga:

El numerador tiene un grado mayor: Si el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la división larga simplifica la fracción.

$$ \frac{x^4}{x + 1} \;or\; \frac{x^3 + x^2}{x^2 + 1} $$

Simplificando fracciones complejas: La división larga transforma la función racional en un polinomio más una fracción propia (donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador). Esta fracción propia puede luego integrarse mediante métodos estándar como la sustitución o la descomposición en fracciones parciales.

Fracciones parciales: Después de utilizar la división larga, la fracción restante puede simplificarse aún más mediante la descomposición en fracciones parciales, especialmente cuando el denominador es un polinomio factorizable. Los pasos para utilizar la división larga en la integración son:

1. Realizar división larga: Divide el numerador por el denominador para expresar la función racional como un polinomio más una fracción propia.
2. Integra la expresión resultante: después de la división, tendrás una combinación de un polinomio y una fracción propia más simple, que se puede integrar término por término.

Ejemplo: Considere x³/x + 1. El grado del numerador 3 es mayor que el denominador (1), por lo que la calculadora divisiones largas utiliza la división larga como:

Realizar división larga:

$$ \frac{x^3}{x + 1} \;=\; x^2 - x + 1 - \frac{1}{x + 1} $$

Integrar término por término:

$$ \int \left(x^2 - x + 1 - \frac{1}{x + 1} \right) dx \;=\; \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - ln |x + 1| + C $$