Preguntas frecuentes
Integral triple de 1/sqrt(1-x^2-y^2-z^2)?
La calculadora integral triple determina la integral triple de 1/sqrt(1 - x2 - y2 - z2) utilizando las coordenadas esféricas. Veamos cómo encontrarla manualmente.
Paso 1: Convertir a coordenadas esféricas:
En coordenadas esféricas, tenemos:
$$ x \;=\; r \times sin(θ) \times cos(φ) $$
$$ y \;=\; r \times sin(θ) \times sin(φ) $$
$$ z \;=\; r \times cos(θ) $$
El determinante jacobiano para esta transformación es r2 × sin(θ).
Paso 2: Expresar la integral en coordenadas esféricas:
La integral se convierte en:
$$ \iiint (\frac{1}{sqrt(1 - r^2)}) \times r^2 \times sin(θ)\; dr\; dθ\; dφ $$
Paso 3: Determinar los límites de integración:
La región de integración es una esfera de radio 1 centrada en el origen. Por lo tanto, los límites de integración son:
$$ 0 ≤\; r\; ≤ 1 $$
$$ 0 ≤\; θ \;≤\; π $$
$$ 0 ≤ φ ≤ 2π $$
Paso 4: Evaluar la integral:
La integral se puede evaluar de la siguiente manera:
$$ \iiint (\frac{1}{sqrt(1-r^2)}) \times r^2 sin(θ)\; dr\; dθ\; dφ \;=\; \int_0^{2π} \int_0^π \int_0^1 \frac{(r^2 sin(θ))}{sqrt(1-r^2)} dr\; dθ\; dφ $$
La integral interna se puede resolver mediante la sustitución u = 1 - r2, du = -2r dr:
$$ \int_0^1 \frac{(r^2 \times sin(θ))}{sqrt(1 - r^2)} dr \;=\; -\frac{1}{2} \times \int_0^1 (sqrt(u) \times sin(θ)) du \;=\; \frac{1}{2} \times \int_0^1 (sqrt(u) \times sin(θ)) du $$
Esta integral se puede resolver usando la fórmula ∫ sqrt(u) du = (2/3) × u(3/2):
$$ \frac{1}{2} \times \int_0^1 (sqrt(u) \times sin(θ)) du \;=\; \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3}) \times sin(θ) \;=\; (\frac{1}{3}) \times sin(θ) $$
Sustituyendo este resultado en la integral original, obtenemos:
$$ \int_0^{2π} \int_0^π \int_0^1 \frac{(r^2 \times sin(θ))}{sqrt(1 - r^2)} \;dr\; dθ\; dφ \;=\; \int_0^{2π} \int_0^π (\frac{1}{3}) \times sin(θ)\; dθ\; dφ $$
La integral media se puede resolver usando la fórmula ∫ sin(θ) dθ = -cos(θ):
$$ \int_0^{2π} \int_0^π (\frac{1}{3}) \times sin(θ)\; dθ\; dφ \int_0^π (-\frac{1}{3}) \times cos(θ)\; \biggr|_0^π\; dφ $$
Esta integral se evalúa como 0, ya que cos(0) = 1 y cos(π) = -1.
Por lo tanto, la integral triple de 1/sqrt(1 - x2 - y2 - z2) sobre la esfera de radio 1 centrada en el origen es 0.
Triple integral de e^x+y+z?
La calculadora de triple integral resuelve la integral triple de e(x + y + z) sobre una región R en R3 iterando las integrales simples.
Paso 1: Determinar los límites de integración:
Los límites de integración dependerán de la región específica R. Por ejemplo, si R es un cubo con lados de longitud L, entonces los límites de integración son:
$$ 0 ≤ \;x\; ≤ \;L $$
$$ 0 ≤ \;y\; ≤\; L $$
$$ 0 ≤\; z\; ≤\; L $$
Paso 2: Evaluar la integral interna:
La integral interna es ∫ e(x + y + z) dz. Podemos tratar x e y como constantes e integrar con respecto a z:
$$ \int e^{(x + y + z)} dz \;=\; e^{(x+y+z)} + C $$
Paso 3: Evaluar la integral media:
La integral media es ∫ (e(x+y+z) + C) dy. Podemos tratar a x como una constante e integrar con respecto a y:
$$ \int (e^{(x+y+z)} + C) dy \;=\; e^{(x+y+z)} + C_y + D $$
Paso 4: Evaluar la integral externa:
La integral externa es ∫ (e(x + y + z) + Cy + D) dx. Podemos integrar con respecto a x
$$ \int (e^{(x+y+z)} + Cy + D) dx \;=\; e^(x+y+z) + Cxy + Dx + E $$
Paso 5: Evaluar la integral sobre la región R:
Para hallar la integral triple sobre la región R, necesitamos evaluar la expresión obtenida en el paso 4 en los límites superior e inferior de integración y restar los resultados. Por ejemplo, si R es un cubo con lados de longitud L, entonces la integral triple es:
$$ \iiint_R e^{(x+y+z)} dV \;=\; (e^{(L+L+L)} + CL^2 + DL + E) - (e^{(0+0+0)} + C0 + D0 + E) $$
$$ =\; e^{(3L)} + CL^2 + DL $$
Triple integral de x^2+y^2+z^2?
La calculadora integral triple resuelve la integral triple de x2 + y2 + z2 usando coordenadas esféricas.
Paso 1: Convertir a coordenadas esféricas:
En coordenadas esféricas, tenemos
$$ x \;=\; r \times sin(θ) \times cos(φ) $$
$$ y \;=\; r \times sin(θ) \times sin(φ) $$
$$ z \;=\; r \times cos(θ) $$
The Jacobian determinant for this transformation is r2 × sin(θ).
Paso 2: Expresar la integral en coordenadas esféricas:
La integral se convierte en,
$$ \iiint (r^2) \times r^2 \times sin(θ)\; dr\; dθ\; dφ $$
Paso 3: Determinar los límites de integración:
Los límites de integración dependerán de la región específica de integración. Supongamos que estamos integrando sobre una esfera de radio R centrada en el origen. Entonces, los límites son,
$$ 0 ≤\; r\; ≤\; R $$
$$ 0 ≤ θ ≤\; π $$
$$ 0 ≤ \;φ\; ≤ \; 2π $$
Paso 4: Evaluar la integral
La integral se puede evaluar de la siguiente manera:
$$ \iiint (r^4 sin(θ)) dr\; dθ\; dφ \;=\; \int_0^{2π} \int_0^π \int_0^R (r^4 sin(θ))\; dr\; dθ\; dφ $$
La integral interna se puede resolver utilizando la regla de potencia:
$$ \int_0^R (r^4 \times sin(θ)) dr \;=\; (\frac{1}{5}) r^5 sin(θ) \biggr|_0^R \;=\; (\frac{1}{5}) R^5 sin(θ) $$
Sustituyendo este resultado en la integral original, obtenemos:
$$ \int_0^{2π} \int_0^π (\frac{1}{5}) R^5 sin(θ)\; dθ\; dφ $$
La integral media se puede resolver usando la fórmula ∫ sin(θ) dθ = -cos(θ):
$$ \int_0^{2π} \int_0^π (\frac{1}{5}) R^5 sin(θ)\; dθ\; dφ \;=\; \int_0^{2π} (-\frac{1}{5}) R^5\; cos(θ) \biggr|_0^π\; dφ $$
Esta integral se evalúa como 0, ya que cos(0) = 1 y cos(π) = -1.
Por lo tanto, la integral triple de x2 + y2 + z2 sobre una esfera de radio R centrada en el origen es 0.
Triple integral de cos (x+y+z)?
La integral triple de cos(x+y+z) se puede resolver iterando las integrales simples.
Paso 1: determinar los límites de integración
Los límites de integración dependerán de la región específica de integración. Supongamos que estamos integrando sobre un cubo con lados de longitud L centrados en el origen. Entonces los límites son:
$$ -\frac{L}{2} ≤ \;x\; ≤ \frac{L}{2} $$
$$ -\frac{L}{2} ≤\; y\; ≤ \frac{L}{2} $$
$$ -\frac{L}{2} ≤\; z\; ≤ \frac{L}{2} $$
Paso 2: Evaluar la integral interna
La integral interna es ∫ cos(x + y + z) dz. Podemos tratar x e y como constantes e integrar con respecto a z:
$$ \int cos(x + y + z)\; dz \;=\; sin(x + y + z) + C $$
Paso 3: Evaluar la integral media
La integral media es ∫ (sin(x + y + z) + C) dy. Podemos tratar a x como una constante e integrar con respecto a y:
$$ \int (sin(x + y + z) + C)\; dy \;=\; -cos(x + y + z) + Cy + D $$
Paso 4: Evaluar la integral externa
La integral externa es ∫ (-cos(x + y + z) + Cy + D) dx. Podemos integrar con respecto a x:
$$ \int (-cos(x + y + z) + Cy + D)\; dx \;=\; -sin(x + y + z) + Cxy + Dx + E $$
Paso 5: Evaluar la integral sobre la región R
Para hallar la integral triple sobre la región R, necesitamos evaluar la expresión obtenida en el paso 4 en los límites superior e inferior de integración y restar los resultados. Por ejemplo, si R es un cubo con lados de longitud L, entonces la integral triple es:
$$ \iiint_R cos(x + y + z) dV \;=\; (-sin(\frac{L}{2} + \frac{L}{2} + \frac{L}{2}) + CL^{\frac{2}{4}} + \frac{DL}{2} + E) - (-sin(-\frac{L}{2} - \frac{L}{2} - \frac{L}{2}) + CL^{\frac{2}{4}} - \frac{DL}{2} + E) $$
$$ =\; -sin(\frac{3L}{2}) + sin(-\frac{3L}{2}) + DL $$
Since sin(-x) = -sin(x), we have:
$$ \iiint_R cos(x + y + z) dV \;=\; -2sin(\frac{3L}{2}) + DL $$
Triple integral de tetraedro?
La integral triple de un tetraedro depende de la función específica que se integra y de las coordenadas utilizadas para definir el tetraedro. Sin embargo, podemos proporcionar un enfoque general para resolver dichas integrales.
Por ejemplo, un tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) se puede definir mediante las desigualdades:
$$ 0 ≤\; x\; ≤ 1 $$
$$ 0 ≤\; y\; ≤ 1 - x $$
$$ 0 ≤\; z\; ≤ 1 - x - y $$
La elección del sistema de coordenadas depende de la forma y la orientación del tetraedro. Expresar la función que se va a integrar y las inecuaciones que definen el tetraedro en términos de las coordenadas elegidas. La integral triple se puede plantear de la siguiente manera:
$$ \iiint_T f(x, y, z) dV $$
Donde T es el tetraedro, f(x, y, z) es la función que se va a integrar y dV es el elemento de volumen en el sistema de coordenadas elegido.
Evalúe la integral triple utilizando las técnicas de integración adecuadas. Esto puede implicar integrales iteradas, sustitución o integración por partes.
Ejemplo:
Encontremos la integral triple de la función f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sobre el tetraedro definido por las desigualdades:
$$ 0 ≤\; x\; ≤ 1 $$
$$ 0 ≤\; y\; ≤ 1 - x $$
$$ 0 ≤\; z\; ≤ 1 - x - y $$
Usaremos coordenadas cartesianas. La integral triple es:
$$ \int_0^1 \int_0^{(1-x)} \int_0^{(1-x-y)} (x^2 + y^2 + z^2) dz\; dy\; dx $$
Evaluando la integral interna:
$$ \int_0^{(1-x-y)} (x^2 + y^2 + z^2)\; dz \;=\; (x^2 + y^2)z + (\frac{1}{3})z^3 \biggr|_0^{(1-x-y)} $$
$$ =\; (x^2 + y^2)(1 - x - y) + (\frac{1}{3})(1 - x - y)^3 $$
Sustituyendo este resultado en la integral media:
$$ \int_0^{(1-x)} [(x^2 + y^2)(1 - x - y) + (\frac{1}{3})(1 - x - y)^3] dy $$
Esta integral se puede evaluar mediante la regla de potencia y la sustitución. El resultado final es (1/12). Por lo tanto, la integral triple de x2 + y2 + z2 sobre el tetraedro dado es 1/12.
Evaluar triple integral dxdydz/(1+x+y+z)^3?
La calculadora de triple integral determina la integral triple de dxdydz/(1 + x + y + z)3 mediante la sustitución u = 1 + x + y + z, du = dx + dy + dz. La integral se convierte en:
$$ \iiint (\frac{1}{u^3}) du $$
Los límites de integración dependerán de la región específica de integración. Supongamos que estamos integrando sobre un cubo con lados de longitud L centrados en el origen. Entonces los límites son:
$$ -\frac{L}{2} ≤\; x\; ≤ \frac{L}{2} $$
$$ -\frac{L}{2} ≤\; y\; ≤ \frac{L}{2} $$
$$ -\frac{L}{2} ≤\; z\; ≤ \frac{L}{2} $$
Cuando sustituimos u = 1 + x + y + z, los límites quedan:
$$ 1 - L\; ≤\; u\; ≤ 1 + L $$
La integral se puede evaluar de la siguiente manera:
$$ \iiint (\frac{1}{u^3}) du \;=\; \int_{(1 - L)}^{(1 + L)} (\frac{1}{u^3}) du $$
$$ =\; (\frac{-1}{2u^2}) \biggr|_{(1-L)}^{(1+L)} $$
$$ =\; (\frac{-1}{2(1 + L)^2}) - (\frac{-1}{2(1-L)^2}) $$
$$ =\; \frac{1-L^2}{(2(1-L^2)} $$
$$ =\; \frac{1}{2} $$
Por lo tanto, la integral triple de dxdydz/(1+x+y+z)3 sobre un cubo con lados de longitud L centrados en el origen es 1/2.
