Calculadora de la Suma de Riemann

Para calcular la suma de Riemann de sin(x) en un intervalo, digamos [a,b], la calculadora de sumatoria de riemann divide el intervalo en n subintervalos, cada uno de ancho Δx = b-a/n. La suma de Riemann se aproxima a la integral de sen(x) en este intervalo y se puede escribir como:

$$ S_n \;=\; \sum_{i=1}^n\; sin(x_i)\; Δx $$

Aquí:

• xi es un punto de muestra en el i-ésimo subintervalo (por ejemplo, xi = a + iΔx, que da el punto del extremo derecho de cada subintervalo).
• Δx = b-a/n es el ancho de cada subintervalo.

Para un valor n grande, la suma de Riemann aproxima la integral definida de sin(x) de a a b:

$$ \int_a^b\; sin(x)\; dx \;=\; -cos(x) \biggr|_a^b \;=\; -cos(b) + cos(a) $$

Esta integral da el área exacta bajo la curva, mientras que la suma de Riemann proporciona una aproximación basada en el número de subintervalos n.

Para calcular la suma de Riemann de la función f(x) = x², la suma riemann calculadora sigue un enfoque sistemático. Repasemos los pasos utilizando un ejemplo específico.

$$ f(x) \;=\; x^2 $$

Utilizando el intervalo [0,1] (puede especificar un intervalo diferente si es necesario).

Elijamos los subintervalos n = 4 (de nuevo, esto se puede cambiar).

Los pasos para calcular la suma de Riemann son:

Divide the Interval:

Estamos dividiendo el intervalo [0,1] en n = 4 subintervalos iguales, por lo que el ancho de cada subintervalo es:

$$ Δx \;=\; \frac{b-a}{n} \;=\; \frac{1-0}{4} \;=\; 0.25 $$

Identificar los puntos de muestra:

Para una suma de Riemann izquierda, tomamos los puntos extremos izquierdos de cada subintervalo, y los subintervalos son:

$$ [0, 0.25],\; [0.25, 0.5],\; [0.5, 0.75],\; [0.75, 1] $$

Los puntos finales izquierdos son:

$$ x_0 \;=\; 0,\; x_1 \;=\; 0.25,\; x_2 \;=\; 0.5,\; x_3 \;=\; 0.75 $$

Para una suma de Riemann derecha, tomamos los puntos finales correctos:

$$ x_1 \;=\; 0.25,\; x_2 \;=\; 0.5,\; x_3 \;=\; 0.75,\; x_4 \;=\; 1 $$

Para una suma de Riemann de punto medio, tomamos los puntos medios:

$$ x_0 \;=\; 0.125\; (midpoint\; of\; [0, 0.25]) $$

$$ x_1 \;=\; 0.375\; (midpoint\; of\; [0.25, 0.5]) $$

$$ x_2 \;=\; 0.625\; (midpoint\; of\; [0.5, 0.75]) $$

$$ x_3 \;=\; 0.875\; (midpoint\; of\; [0.75, 1]) $$

Evalúe la función en los puntos de muestra: Los puntos finales izquierdos son:

$$ f(x_0) \;=\; f(0) \;=\; 0^2 \;=\; 0 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(0.25) \;=\; (0.25)^2 \;=\; 0.0625 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.5) \;=\; (0.5)^2 \;=\; 0.25 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.75) \;=\; (0.75)^2 \;=\; 0.5625 $$

Los puntos finales correctos son:

$$ f(x_1) \;=\; f(0.25) \;=\; 0.0625 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.5) \;=\; 0.25 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.75) \;=\; 0.5625 $$

$$ f(x_4) \;=\; f(1) \;=\; 1^2 \;=\; 1 $$

Los puntos medios son:

$$ f(x_0) \;=\; f(0.125) \;=\; (0.125)^2 \;=\; 0.015625 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(0.375) \;=\; (0.375)^2 \;=\; 0.140625 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.625) \;=\; (0.625)^2 \;=\; 0.390625 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.875) \;=\; (0.875)^2 \;=\; 0.765625 $$

Calcular las sumas de Riemann: La suma de Riemann izquierda es:

$$ R_L \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i)\; Δx \;=\; (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625) . 0.25 \;=\; 0.875 . 0.25 \;=\; 0.21875 $$

La suma de Riemann correcta es:

$$ R_R \;=\; \sum_{i=1}^n f(x_i) Δx \;=\; (0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1) . 0.25 \;=\; 1.875 . 0.25 \;=\; 0.46875 $$

El punto medio es:

$$ R_M \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i) Δx \;=\; (0.015625 + 0.140625 + 0.390625 + 0.765625) . 0.25 \;=\; 1.31235 . 0.25 \;=\; 0.328125 $$

Entonces el resultado es:

$$ Suma\; de\; Riemann\; izquierda:\; R_L \;=\; 0.21875 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; derecha:\; R_R \;=\; 0.46875 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; del\; punto\; medio:\; R_M \;=\; 0.328125 $$

Para calcular la suma de Riemann de la función f(x) = 1/x, la sumatorias de riemann calculadora sigue el enfoque sistemático utilizado anteriormente. A continuación, describiré los pasos para calcular la suma de Riemann en un intervalo específico.

$$ f(x) \;=\; \frac{1}{x} $$

Elijamos el intervalo [1, 2] (puede especificar un intervalo diferente si es necesario).

Supongamos que n = 4 (esto también se puede ajustar).

Para determinar el valor de la suma de Riemann de 1/x, siga los pasos indicados:

Dividir el intervalo:

Dividimos el intervalo [1, 2] en n = 4 subintervalos iguales.

$$ Δx \;=\; \frac{b-a}{n} \;=\; \frac{2-1}{4} \;=\; \frac{1}{4} \;=\; 0.25 $$

Identificar los puntos de muestra:

Para una suma de Riemann izquierda, tomamos los puntos extremos izquierdos de cada subintervalo y los subintervalos son:

$$ [1, 1.25],\; [1.25, 1.5],\; [1.5, 1.75],\; [1.75, 2] $$

Los puntos finales izquierdos:

$$ x_0 \;=\; 1 $$

$$ x_1 \;=\; 1.25 $$

$$ x_2 \;=\; 1.5 $$

$$ x_3 \;=\; 1.75 $$

Para una suma de Riemann derecha, tomamos los puntos finales correctos:

$$ x_1 \;=\; 1.25 $$

$$ x_2 \;=\; 1.5 $$

$$ x_3 \;=\; 1.75 $$

$$ x_4 \;=\; 2 $$

Para una suma de Riemann de punto medio, tomamos los puntos medios:

$$ x_0 \;=\; 1.125\; (punto\; medio\; de\; [1. 1,25]) $$

$$ x_1 \;=\; 1.375\; (punto\; medio\; de\; [1.25, 1,5]) $$

$$ x_2 \;=\; 1.625\; (punto\; medio\; de\; [1.5, 1,75]) $$

$$ x_3 \;=\; 1.875\; (punto\; medio\; de\; [1.75, 2]) $$

Evaluar la función en los puntos de muestra:

Los puntos finales izquierdos son:

$$ f(x_0) \;=\; f(1) \;=\; \frac{1}{1} \;=\; 1 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(1.25) \;=\; \frac{1}{1.25} \;=\; 0.8 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(1.5) \;=\; \frac{1}{1.5} \approx 0.6667 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(1.75) \;=\; \frac{1}{1.75} \approx 0.5714 $$

Puntos finales derechos:

$$ f(x_1) \;=\; f(1.25) \;=\; 0.8 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(1.5) \approx 0.6667 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(1.75) \approx 0.5714 $$

$$ f(x_4) \;=;\ f(2) \;=\; \frac{1}{2} \;=\; 0.5 $$

Puntos medios:

$$ f(x_0) \;=\; f(1.125) \;=\; \frac{1}{1.125} \approx 0.8889 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(1.375) \;=\; \frac{1}{1.375} \approx 0.7273 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(1.625) \;=\; \frac{1}{1.625} \approx 0.6154 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(1.875) \;=\; \frac{1}{1.875} \approx 0.5333 $$

Calcular las sumas de Riemann: La suma de Riemann izquierda es:

$$ R_L \;=\; \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Δx \;=\; (1 + 0.8 + 0.6667 + 0.5714) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_L \;=\; (3.0381) . 0.25 \approx 0.7595 $$

La suma de Riemann correcta es:

$$ R_R \;=\; \sum_{i=1}^n f(x_i) Δx \;=\; (0.8 + 0.6667 + 0.5714 + 0.5) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_R \;=\; (2.5381) . 0.25 \approx 0.6345 $$

La suma de Riemann del punto medio es:

$$ R_M \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i)\; Δx \;=\; (0.8889 + 0.7273 + 0.6154 + 0.5333) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_M \;=\; (2.7649) . 0.25 \approx 0.6912 $$

Así que el resultado es,

$$ Suma\; de\; Riemann\; izquierda:\; R_L \approx 0.7595 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; derecha:\; R_R \approx 0.6345 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; del\; punto\; medio:\; R_M \approx 0.6912 $$

Para calcular la suma de Riemann de la función f(x) = x³, la calculadora de sumatoria de riemann sigue el enfoque sistemático. Proporcionaré cálculos para la suma de Riemann en un intervalo específico.

$$ f(x) \;=\; x^3 $$

Utilicemos el intervalo [0, 1] (puede especificar un intervalo diferente si es necesario).

Elijamos n = 4 (esto también se puede ajustar).

Para calcular la suma de Riemann de x³, siga los pasos indicados,

Dividir el intervalo:

Dividimos el intervalo [0, 1] en n = 4 subintervalos iguales.

$$ Δx \;=\; \frac{b-a}{n} \;=\; \frac{1 - 0}{4} \;=\; \frac{1}{4} \;=\; 0.25 $$

Identificar los puntos de muestra:

Para una suma de Riemann izquierda, tomamos los puntos extremos izquierdos de cada subintervalo y los subintervalos son:

$$ [0, 0.25],\; [0.25, 0.5],\; [0.5, 0.75],\; [0.75, 1] $$

Puntos finales izquierdos:

$$ x_0 \;=\; 0 $$

$$ x_1 \;=\; 0.25 $$

$$ x_2 \;=\; 0.5 $$

$$ x_3 \;=\; 0.75 $$

Para una suma de Riemann derecha, tomamos los puntos finales correctos:

$$ x_1 \;=\; 0.25 $$

$$ x_2 \;=\; 0.5 $$

$$ x_3 \;=\; 0.75 $$

$$ x_4 \;=\; 1 $$

Para una suma de Riemann de punto medio, tomamos los puntos medios:

$$ x_0 \;=\; 0.125\; (punto\; medio\; de\; [0, 0.25]) $$

$$ x_1 \;=\; 0.375\; (punto\; medio\; de\; [0.25, 0.5]) $$

$$ x_2 \;=\; 0.625\; (punto\; medio\; de\; [0.5, 0.75]) $$

$$ x_3 \;=\; 0.875\; (punto\; medio\; de\; [0.75, 1]) $$

Evaluar la función en los puntos de muestra

Los puntos finales izquierdos son:

$$ f(x_0) \;=\; f(0) \;=\; 0^3 \;=\; 0 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(0.25) \;=\; (0.25)^3 \;=\; 0.015625 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.5) \;=\; (0.5)^3 \;=\; 0.125 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.75) \;=\; (0.75)^3 \;=\; 0.421875 $$

Los puntos finales correctos son:

$$ f(x_1) \;=\; f(0.25) \;=\; 0.015625 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.5) \;=\; 0.125 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.75) \;=\; 0.421875 $$

$$ f(x_4) \;=\; f(1) \;=\; 1^3 \;=\; 1 $$

Los puntos medios son:

$$ f(x_0) \;=\; f(0.125) \;=\; (0.125)^3 \;=\; 0.001953125 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(0.375) \;=\; (0.375)^3 \;=\; 0.052734375 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.625) \;=\; (0.625)^3 \;=\; 0.244140625 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.875) \;=\; (0.875)^3 \;=\; 0.669921875 $$

Calcular las sumas de Riemann:

La suma de Riemann izquierda es:

$$ R_L \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i)\; Δx \;=\; (0 + 0.015625 + 0.125 + 0.421875) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_L \;=\; (0.5625) . 0.25 \;=\; 0.140625 $$

La suma de Riemann correcta es:

$$ R_R \;=\; \sum_{i=1}^n f(x_i)\; Δx \;=\; (0.015625 + 0.125 + 0.421875 + 1) . 0.25 $$

Calculando esto:

$$ R_R \;=\; (1.5625) . 0.25 \;=\; 0.390625 $$

La suma de Riemann del punto medio es:

$$ R_M \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i) Δx \;=\; (0.001953125 + 0.052734375 + 0.244140625 + 0.669921875) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_M \;=\; (0.96875) . 0.25 \;=\; 0.2421875 $$

So, the result is:

$$ Suma\; de\; Riemann\; izquierda:\; R_L \approx 0.140625 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; derecha:\; R_R \approx 0.390625 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; en\; punto\; medio:\; R_M \approx 0.2421875 $$

Para calcular la suma de Riemann de una función exponencial, la suma riemann calculadora elige una función exponencial específica f(x) = e^x como ejemplo. También necesitaremos definir un intervalo y la cantidad de subintervalos para el cálculo.

$$ f(x) \;=\; e^x $$

Utilicemos el intervalo [0, 1].

Tomemos n = 4.

Los pasos se detallan a continuación:

Dividir el intervalo:

Dividimos el intervalo [0, 1] en n = 4 subintervalos iguales.

$$ Δx \;=\; \frac{b-a}{n} \;=\; \frac{1-0}{4} \;=\; \frac{1}{4} \;=\; 0.25 $$

Identificar los puntos de muestra:

Tome los puntos finales izquierdos de cada subintervalo y los subintervalos son:

$$ [0, 0.25],\; [0.25, 0.5],\; [0.5, 0.75],\; [0.75, 1] $$

Los puntos finales izquierdos son:

$$ x_0 \;=\; 0 $$

$$ x_1 \;=\; 0.25 $$

$$ x_2 \;=\; 0.5 $$

$$ x_3 \;=\; 0.75 $$

Ahora, tome los puntos finales correctos:

$$ x_1 \;=\; 0.25 $$

$$ x_2 \;=\; 0.5 $$

$$ x_3 \;=\; 0.75 $$

$$ x_4 \;=\; 1 $$

Ahora, tomamos los puntos medios:

$$ x_0 \;=\; 0.125\; (punto\; medio\; de\; [0, 0.25]) $$

$$ x_1 \;=\; 0.375\; (punto\; medio\; de\; [0.25, 0.5]) $$

$$ x_2 \;=\; 0.625\; (punto\; medio\; de\; [0.5, 0.75]) $$

$$ x_3 \;=\; 0.875\; (punto\; medio\; de\; [0.75, 1]) $$

Evaluar la función en los puntos de muestra:

Ahora, calculamos los valores de la función en los puntos de muestra, los puntos finales izquierdos son:

$$ f(x_0) \;=\; f(0) \;=\; e^0 \;=\; 1 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(0.25) \;=\; e^{0.25} \approx 1.2840 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.5) \;=\; e^{0.5} \approx 1.6487 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.75) \;=\; e^{0.75} \approx 2.1170 $$

Los puntos finales correctos son:

$$ f(x_1) \;=\; f(0.25) \approx 1.2840 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.5) \approx 1.6487 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.75) \approx 2.1170 $$

$$ f(x_4) \;=\; f(1) \;=\; e^1 \approx 2.7183 $$

Puntos medios:

$$ f(x_0) \;=\; f(0.125) \;=\; e^{0.125} \approx 1.1335 $$

$$ f(x_1) \;=\; f(0.375) \;=\; e^{0.375} \approx 1.454 $$

$$ f(x_2) \;=\; f(0.625) \;=\; e^{0.625} \approx 1.8681 $$

$$ f(x_3) \;=\; f(0.875) \;=\; e^{0.875} \approx 2.3965 $$

Calcular las sumas de Riemann: La suma de Riemann izquierda es:

$$ R_L \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i)\; Δx \;=\; (1 + 1.2840 + 1.6487 + 2.1170) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_L \;=\; (6.0497) . 0.25 \approx 1.5124 $$

La suma de Riemann correcta es:

$$ R_R \;=\; \sum_{i=1}^n\; f(x_i)\; Δx \;=\; (1.2840 + 1.6487 + 2.1170 + 2.7183) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_R \;=\; (7.7680) . 0.25 \approx 1.9420 $$

La suma de Riemann del punto medio es:

$$ R_M \;=\; \sum_{i=0}^{n-1}\; f(x_i) Δx \;=\; (1.1335 + 1.4540 + 1.8681 + 2.3965) . 0.25 $$

Calculando esto,

$$ R_M \;=\; (6.8521) . 0.25 \approx 1.7130 $$

Por lo tanto, el resultado es:

$$ Suma\; de\; Riemann\; por\; la\; izquierda:\; R_L \approx 1.5124 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; derecha:\; R_R \approx 1.9420 $$

$$ Suma\; de\; Riemann\; en\; punto\; medio: R_M \approx 1.7130 $$