Calculadora de Método de Disco

La metodo de discos calculadora ayuda a encontrar el volumen de un sólido de revolución formado al rotar una región limitada por dos funciones alrededor de una línea vertical. Para utilizar el método del disco alrededor de x = 2, es necesario seguir estos pasos:

1. Identificar la región: determinar la región en el plano xy que rotará alrededor de la línea x = 2. Esta región suele estar delimitada por dos funciones, f(x) y g(x).
2. Establezca la integral: El volumen del sólido de revolución se puede encontrar utilizando la siguiente integral:

$$ V \;=\; \int_{a, b} π \times (radio exterior)^2 - π \times (radio interior)^2 dx $$

Dónde:

• a y b son las coordenadas x de los puntos de intersección de las dos funciones.
• El radio exterior es la distancia desde la línea x = 2 hasta la función exterior.
• El radio interior es la distancia desde la línea x = 2 hasta la función interior.

Ejemplo:

Consideremos la región limitada por y = x² e y = 4, que gira alrededor de la línea x = 2.

1. La región está limitada por las curvas y = x^2 e y = 4.
2. La integral es:

$$ V \;=\; \int_{0, 4} π \times (4 - (x-2)^2) - π \times (2 - x^2)^2 dx $$

Tenga en cuenta que el radio exterior es 4 - (x-2)² y el radio interior es 2 - x². Para evaluar esta integral, puede desarrollar los cuadrados y simplificar la expresión antes de integrar. La respuesta final es:

$$ V \;=\; \frac{32π}{3} $$

La calculadora metodo de discos determina el volumen de un sólido de revolución formado al rotar una región delimitada por dos funciones alrededor de la curva x² utilizando el método de la arandela o el método de la capa. Para hallar el volumen de un sólido rotado alrededor de x², siga los pasos indicados:

1. Identificar la región: determinar la región en el plano xy que rotará alrededor de la curva x².
2. Establecer la integral: el volumen del sólido de revolución se puede hallar utilizando la siguiente integral:

$$ V \;=\; \int_{a, b} π \times (radio\; exterior)^2 - π \times (radio\; interior)^2 dx $$

Dónde:

• a y b son las coordenadas x de los puntos de intersección de las dos funciones.
• El radio exterior es la distancia desde la curva x² hasta la función exterior.
• El radio interior es la distancia desde la curva x² hasta la función interior.

Método de concha:

1. Identificar la región: determinar la región en el plano xy que rotará alrededor de la curva x².
2. Establecer la integral: el volumen del sólido de revolución se puede hallar utilizando la siguiente integral:

$$ V = \int_{a, b} 2π \times (x - x^2) \times (f(x) - g(x)) dx $$
Dónde:

• a y b son las coordenadas x de los puntos de intersección de las dos funciones.
• f(x) y g(x) son las dos funciones que delimitan la región.

Ejemplo:

Considere la región delimitada por y = x² e y = 4, girada alrededor de la curva x².

Método de lavado:

1. La región está limitada por las curvas y = x² e y = 4.
2. La integral es:

$$ V \;=\; \int_{0, 2} π \times (4 - x^2)^2 - π \times (x^2)^2 dx $$
$$ =\; \frac{32π}{3} $$

Método de concha:

1. La región está limitada por las curvas y = x² e y = 4.
2. La integral es:

$$ V \;=\; \int_{0, 2} 2π \times (x - x^2) \times (4 - x^2) dx $$
$$ =\; \frac{32π}{3} $$

Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es 32π/3 unidades cúbicas, independientemente del método utilizado.

Existen varios métodos para hallar el volumen de una figura tridimensional, según su geometría. A continuación, se indican algunos métodos habituales:

Para formas regulares:

• Fórmula: Utiliza una fórmula específica para la forma. Por ejemplo, el volumen de una esfera es (4/3)πr³, donde r es el radio.
• Descomposición: Divide la forma en formas más pequeñas y simples cuyos volúmenes sean conocidos. Luego, suma los volúmenes de las formas más pequeñas para encontrar el volumen total.

Para formas irregulares:

• Integración: utiliza el cálculo para integrar el área de la sección transversal de la figura sobre su altura o longitud. Este método se utiliza a menudo para sólidos de revolución o figuras con secciones transversales variables.
• Principio de Cavalieri: este principio establece que si dos sólidos tienen la misma altura y la misma área de sección transversal en cada altura, entonces tienen el mismo volumen.
• Método de Monte Carlo: este método implica tomar muestras aleatorias de puntos dentro de la forma y estimar el volumen en función de la proporción de puntos que caen dentro de la forma.

Example:

Para hallar el volumen de un cono, puedes utilizar la fórmula V = (1/3)πr^2h, donde r es el radio de la base y h es la altura. Para hallar el volumen de una esfera, puedes utilizar la fórmula V = (4/3)πr³, donde r es el radio.

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución, puedes utilizar el método de integración de disco/arandela o el método de capas.

El volumen de un objeto 3D está directamente relacionado con la forma de la base del objeto. La forma de la base determina el área de la sección transversal del objeto a diferentes alturas, lo que a su vez afecta el volumen general. A continuación, se muestran algunas relaciones específicas entre la forma de la base y el volumen:

• Cilindros: El volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de la base (un círculo) por la altura.
• Conos: El volumen de un cono es (1/3) × área de la base × altura. La forma de la base puede ser un círculo, un cuadrado, un triángulo u otro polígono.
• Prismas: El volumen de un prisma es el área de la base × la altura. La forma de la base puede ser cualquier polígono.
• Pirámides: El volumen de una pirámide es (1/3) × área de la base × altura. La forma de la base puede ser cualquier polígono.
• Esferas: El volumen de una esfera es (4/3)πr³, donde r es el radio. La forma básica de una esfera es un círculo.

En general, el volumen de un objeto 3D se puede calcular integrando el área de la sección transversal del objeto sobre su altura. La forma de la base determina la función que representa el área de la sección transversal a diferentes alturas.

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución formado al rotar una región alrededor de la línea y = 2, puede utilizar el método del disco o el método de la arandela.

1. Identificar la región: determinar la región en el plano xy que rotará alrededor de la línea y=2.
2. Establecer la integral: el volumen del sólido de revolución se puede hallar utilizando la siguiente integral:

$$ V \;=\; \int_{a, b} π \times (radio\; exterior)^2 - π \times (radio\; interior)^2 dy $$
Dónde:

• a y b son las coordenadas y de los puntos de intersección de las dos funciones.
• El radio exterior es la distancia desde la línea y = 2 hasta la función exterior.
• El radio interior es la distancia desde la línea y = 2 hasta la función interior.

Ejemplo:

Considere la región delimitada por y = x² e y = 4, girada alrededor de la línea y = 2.

1. La región está limitada por las curvas y = x² e y = 4.
2. La integral es:

$$ V \;=\; \int_{0, 4} π \times (4 - y)^2 - π \times (2 - x^2)^2 dy $$

Tenga en cuenta que el radio exterior es 4 - y y el radio interior es 2 - x².