Calculadora De Series De Fourier

Para hallar la serie de Fourier de la función f(x) = x², la serie de fourier calculator define primero el intervalo en el que queremos la serie. Consideremos f(x) = x² en el intervalo [-L, L]. En el caso de f(x) = x², una opción habitual es el intervalo [−π, π]. La serie de Fourier de una función f(x) en [-L, L] viene dada por:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n cos \frac{n \pi x}{L} + b_n sin \frac{n \pi x}{L} \right) $$

Donde los coeficientes a0, an y bn se definen como:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\; dx $$

$$ a_n \;=\; \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) cos\; \frac{n \pi x}{L}\; dx $$

$$ b_n \;=\; \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) sin\; \frac{n \pi x}{L}\; dx $$

Dado que f(x) = x² es una función par, la serie de Fourier solo tendrá términos coseno, y todos los términos seno se desvanecerán (es decir, b_n = 0 para todo n).

Calcular a0:

Para f(x) = x² y L = π, el coeficiente a0 es:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2\; dx $$

Como x² es una función par, podemos simplificar la integral:

$$ a_0 \;=\; \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2\; dx $$

Ahora, calcula la integral,

$$ \int x^2 dx \;=\; \frac{x^3}{3} $$

Evaluando de 0 a π:

$$ a_0 \;=\; \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} \;=\; \frac{2}{\pi} \left(\frac{\pi^3}{3} - 0 \right) \;=\; \frac{2}{\pi} \times \frac{\pi^3}{3} \;=\; \frac{2 \pi^2}{3} $$

Calcular a_n:

Los coeficientes a_n vienen dados por:

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 cos(n\; x)\; dx $$

Nuevamente, como x² es par y cos(nx) es par, podemos simplificar la integral:

$$ a_n \;=\; \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 cos(nx)\; dx $$

Esta integral es más desafiante, por lo que aplicamos la integración por partes. Sea:

$$ u \;=\; x^2, so\; du \;=\; 2x\; dx $$

$$ dv \;=\; cos(nx)\; dx,\; so\; v \;=\; \frac{sin(nx)}{n} $$

Utilizando la integración por partes:

$$ \int x^2 cos(nx)\; dx \;=\; x^2 \frac{sin(nx)}{n} - \int \frac{2x\; sin(nx)}{n} dx $$

Necesitaríamos aplicar nuevamente la integración por partes a la segunda integral, pero para simplificar, se sabe que el resultado es:

$$ a_n \;=\; \frac{4(-1)^n}{n^2} $$

Por lo tanto, la serie de Fourier para f(x) = x² en [-π, π] es:

$$ f(x) \;=\; \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} cos(nx) $$

Esta es la serie de Fourier para f(x) = x².

Para encontrar la serie de Fourier de la función f(x) = π − x²/2 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, la calculadora serie fourier sigue los pasos para calcular los coeficientes de Fourier.

Dada la función f(x) = π−x²/2, y como está definida en el intervalo [0, 2π], la desarrollaremos como una serie de Fourier sobre este intervalo. La serie de Fourier de una función f(x) sobre el intervalo [0, 2π] viene dada por:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right) + b_n sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right) \right) $$

Dónde:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{L} \int_0^{2 \pi} f(x)\; dx $$

$$ a_n \;=\; \frac{1}{L} \int_0^{2 \pi} f(x) cos \left(\frac{n \pi x}{L} \right)\; dx $$

$$ b_n \;=\; \frac{1}{L} \int_0^{2 \pi} f(x) sin \left(\frac{n \pi x}{L} \right)\; dx $$

Como estamos trabajando sobre [0, 2π], establecemos L = π, simplificando la serie.

Calcular a_0:

El coeficiente a_0 se calcula como:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \left( \pi - \frac{x^2}{2} \right)\; dx $$

Podemos dividir esta integral en dos partes:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \left(\int_0^{2 \pi} \pi dx - \int_0^{2 \pi} \frac{x^2}{2} dx \right) $$

Primera parte de la integral:

$$ \int_0^{2 \pi} \pi dx \;=\; \pi \times (2 \pi - 0) \;=\; 2 \pi^2 $$

Segunda parte de la integral:

$$ \int_0^{2 \pi} \frac{x^2}{2}\; dx \;=\; \frac{1}{2} \left[\frac{x^3}{3} \right]_0^{2 \pi} \;=\; \frac{1}{2} \times \frac{(2 \pi)^3}{3} \;=\; \frac{8 \pi^3}{6} \;=\; \frac{4 \pi^3}{3} $$

Ahora calcula a0:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \left(2 \pi^2 - \frac{4 \pi^3}{3} \right) \;=\; 2 \pi - \frac{4 \pi^2}{3} $$

Calcular a_n: Los coeficientes del coseno a_n vienen dados por:

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \left(\pi - \frac{x^2}{2} \right) cos(nx)\; dx $$

En general, se trata de una integral más compleja y puede requerir más simplificaciones o técnicas numéricas. Sin embargo, para muchas funciones periódicas de esta forma, la integral dará como resultado coeficientes para los términos del coseno. Consideremos si la serie solo puede incluir términos para el coseno, lo que implicaría una serie simplificada.

Calcular b_n: Los coeficientes seno b_n vienen dados por:

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \left( \pi - \frac{x^2}{2} \right) sin(nx)\; dx $$

Dado que la función f(x) es simétrica y par, los términos dados se anulan. Por lo tanto,

$$ b_n \;=\; 0\; for\; all\; n $$

La serie de Fourier de f(x) = π − x/2 constará de un término constante a_0 y términos coseno. La forma exacta de los términos coseno se puede calcular mediante la integración de a_n, pero en función de la naturaleza de la función, la serie de Fourier se expresa principalmente como:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(nx) $$

Donde a_0 = 2π − 4π²/3 y los términos coseno adicionales se determinan por integración.

Para encontrar la serie de Fourier real de la función periódica 2π f(x) = e^x − π para x ∈ [−π, π], la calculadora de la serie de fourier primero calcula su serie de Fourier compleja y luego la convierte en la serie de Fourier real.

Serie compleja de Fourier: La serie de Fourier compleja de una función f(x) sobre [−π, π] viene dada por:

$$ f(x) \;=\; \sum_{n= -\infty}^{\infty} c_n e^{inx} $$

Donde los coeficientes de Fourier cn vienen dados por:

$$ c_n \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx $$

Para f(x) = e^x - π, calculemos c_n.

Calcular c_n:

La función f(x) = e^x − π se puede integrar término por término.

Primer término: e^x: Necesitamos calcular el coeficiente de Fourier de e^x:

$$ c_n^(1) \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} e^x e^{-inx} dx \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{- \pi} e^{(1 - in)x} dx $$

Esta es una integral estándar. El resultado es:

$$ c_n^1 \;=\; \frac{1}{2 \pi} \left[ \frac{e^{(1 - in)x}}{1 - in} \right]_{- \pi}^{\pi} $$

Evaluando en los límites:

$$ c_n^1 \;=\; \frac{1}{2 \pi} \left( \frac{e^{(1 - in) \pi} - e^{-(1-in) \pi}}{1 - in} \right) $$

Esto se simplifica a:

$$ c_n^1 \;=\; \frac{1}{2 \pi} \frac{e^{pi} (e^{-i n \pi} - e^{in \pi})}{1 - in } $$

Usando e^inπ = (-1)ⁿ, esto se convierte en:

$$ c_n^1 \;=\; \frac{e^{pi}}{2 \pi} \frac{2i (-1)^n}{1 - in} $$

De este modo,

$$ c_n^1 \;=\; \frac{i e^{\pi}(-1)^n}{\pi (1 - in)} $$

Segundo término: -π

Para el término constante -π, el coeficiente de Fourier es:

$$ c_n^2 \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} (- \pi)e^{inx}\; dx $$

Esto es cero para todo n ≠ 0, y para n = 0:

$$ c_0^2 \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} (-\pi)\; dx \;=\; -\pi $$

De este modo,

$$ c_0 \;=\; -\pi + \frac{e^{\pi}}{\pi} $$

Combinar los resultados: Los coeficientes de Fourier complejos son:

$$ c_n \;=\; \frac{ie^{\pi}(-1)^n}{\pi (1 - in)}\; for\; ≠ \;0 $$

$$ c_0 \;=\; -\pi + \frac{e^{\pi}}{\pi} $$

Convertir a series de Fourier reales: Para convertir la serie de Fourier compleja en la serie de Fourier real, utilizamos la siguiente identidad:

$$ e^{inx} \;=\; cos(nx) + i\; sin(nx) $$

Por lo tanto, la serie de Fourier se puede reescribir como una suma de términos de coseno y seno. La serie de Fourier real para una función es:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) $$

Donde a_n y b_n son los coeficientes reales obtenidos a partir de los coeficientes complejos c_n. Los coeficientes de Fourier reales son:

$$ a_n \;=\; 2\; R(c_n),\; b_n \;=\; -2 (c_n) $$

Para f(x) = e^x − π, estos coeficientes se pueden extraer de los coeficientes de Fourier complejos c_n encontrados anteriormente.

La serie de Fourier real para f(x) = e^x−π está compuesta por términos de coseno y seno, con coeficientes determinados a partir de las partes real e imaginaria de c_n:

$$ f(x) \;=\; \left(-\pi + \frac{e^{\pi}}{\pi} \right) + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) $$

Donde an y bn se derivan de las partes reales e imaginarias de cn.

Para hallar la serie de Fourier de la función f(x) = e^x en el intervalo [−π, π], la calculadora serie fourier calcula los coeficientes de Fourier y expresa la función como una serie de Fourier. La serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [-L, L] viene dada por:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n cos \left( \frac{n \pi x}{L} \right) + b_n\; sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right) \right) $$

Definir el intervalo: Para f(x) = e^x, consideraremos el intervalo [−π, π], por lo tanto L = π.

Calcular los coeficientes: El coeficiente a_0 viene dado por:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} e^x\; dx $$

Calculando esta integral:

$$ \int e^x dx \;=\; e^x $$

Thus, we evaluate:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} [e^x]_{- \pi}^{\pi} \;=\; \frac{1}{\pi}(e^{\pi} - e^{- \pi}) \;=\; \frac{1}{\pi} \left(e^{\pi} - \frac{1}{e^{\pi}} \right) \;=\; \frac{1}{\pi} \left(\frac{e^{2 \pi} - 1}{e^{\pi}} \right) $$

Entonces,

$$ a_0 \;=\; \frac{e^{2 \pi} - 1}{\pi e^{\pi}} $$

a_n Coeficiente:

Los coeficientes a_n para n ≥ 1 vienen dados por:

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} e^x cos(nx) dx $$

Para calcular esta integral, podemos utilizar la integración por partes o reconocerla como una integral estándar. Utilizando la integración por partes, sea:

$$ u \;=\; e^x\; (then\; du \;=\; e^x\; dx) $$

$$ dv \;=\; cos(nx)\; dx (then\; v \;=\; \frac{sin(nx)}{n} ) $$

Aplicando la integración por partes:

$$ \int e^x cos(nx)\; dx \;=\; e^x \frac{sin(nx)}{n} - \int \frac{sin(nx)}{n} e^x\; dx $$

Esta integral se puede evaluar de manera similar, lo que da como resultado una relación de recurrencia. Sin embargo, también podemos buscar el resultado:

$$ \int e^{ax} cos(bx)\; dx \;=\; \frac{e^{ax}(a\; cos(bx) + b\; sin(bx))}{a^2 + b^2} $$

Para a = 1 y b = n:

$$ \int e^x cos(nx)\; dx \;=\; \frac{e^x (cos(nx) + n\; sin(nx))}{1 + n^2} $$

De este modo,

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^x(cos(nx) + n\; sin(nx))}{1 + n^2} \right]_{- \pi}^{\pi} $$

Calculando esto obtenemos:

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{\pi}(cos(n \pi) + n\; sin(n \pi)) - e^{- \pi}(cos(-n \pi) + n\; sin(-n \pi))}{1 + n^2} \right] $$

Dado que cos(nπ) = (-1)ⁿ y sin(nπ) = 0:

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} . \frac{e^{\pi}(-1)^n - e^{-\pi}(-1)^n}{1 + n^2} $$

$$ \frac{(-1)^n (e^{\pi} - e^{-\pi}}{\pi(1 + n^2)} $$

Coeficiente b_n: Los coeficientes b_n vienen dados por:

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x\; sin(nx)\; dx $$

Utilizando un método de integración por partes similar al anterior:

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^x (sin(nx) - n\; cos(nx))}{1 + n^2} \right]_{- \pi}^{\pi} $$

Esto da como resultado:

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} . \frac{e^{\pi}(0 - n(-1)^n) - e^{- \pi}(0 - n(-1)^n)}{1 + n^2} $$

Entonces,

$$ b_n \;=\; \frac{n(-1)^n (e^{\pi} - e^{-\pi}}{\pi (1 + n^2)} $$

Serie Final de Fourier:

Ahora, podemos expresar la serie de Fourier para f(x) = e^x:

$$ f(x) \;=\; \frac{e^{2 \pi} - 1}{\pi e^{\pi}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n (e^{\pi} - e^{- \pi})}{\pi (1 + n^2)} cos(nx) + \frac{n (-1)^n (e^{\pi} - e^{- \pi})}{\pi (1 +n^2)} sin(nx) \right] $$

Esto le proporciona la representación de la serie de Fourier de f(x) = e^x en el intervalo [-π, π].

Para encontrar la serie de Fourier de e^x en el intervalo [0, 2π], la serie de fourier calculator expresa la función como una serie trigonométrica de Fourier, que tiene la forma:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(nx) + b_n\; sin(nx))

Dónde:

• a_0 es el término constante (valor promedio en el intervalo),
• a_n y b_n son los coeficientes de Fourier para los términos coseno y seno, respectivamente.

Pasos para encontrar los coeficientes de Fourier:

a_0 (El valor promedio durante el intervalo):

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} e^x dx $$

La integral de e^x sobre [0, 2π] es:

$$ \int_0^{2 \pi} e^x\; dx \;=\; e^{2 \pi} - 1 $$

Por lo tanto el término constante a0 es:

$$ a_0 \;=\; \frac{e^{2 \pi} - 1}{\pi} $$

a_n (Los coeficientes del coseno):

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} e^x cos(nx)\; dx $$

Esta integral es más compleja debido a la interacción entre e^x y cos⁡(nx). Se puede evaluar mediante integración por partes o técnicas numéricas. En la práctica, este término no se simplifica fácilmente y la evaluación exacta requiere técnicas avanzadas.

b_n (Los coeficientes seno):

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} e^x sin(nx)\; dx $$

De manera similar al término a_n, la interacción entre e^x y sin⁡(nx) da como resultado una integral no trivial que requiere métodos avanzados para una evaluación exacta.

Serie final de Fourier: La serie de Fourier de e^x en el intervalo [0, 2π] se puede expresar como:

$$ e^x \;=\; \frac{e^{2 \pi} - 1}{2 \pi} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\; cos(nx) + b_n\; sin(nx)) $$

Donde a_n y b_n se pueden calcular como se explicó anteriormente, aunque las formas exactas son bastante complejas.

Para encontrar la serie de Fourier de f(x) = e^x en el intervalo (−π,π), la calculadora serie fourier expresa la función como una suma de senos y cosenos utilizando la fórmula estándar de la serie de Fourier.

Fórmula de la serie de Fourier:

La serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo (−π, π) está dada por:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\; cos(nx) + b_n\; sin(nx)) $

Dónde:

a_0, a_n y b_n son los coeficientes de Fourier, definidos como:

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x)\; dx $$

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos(nx)\; dx $$

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin(nx)\; dx $$

Encuentra a_0 (el valor promedio):

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} e^x\; dx $$

La integral de e^x es sencilla:

$$ \int e^x dx\;=\; e^x $$

Ahora, evalúe la integral definida de -π a π:

$$ \int_{-\pi}^{\pi} e^x\; dx \;=\; e^{\pi} - e^{- \pi} $$

De este modo,

$$ a_0 \;=\; \frac{1}{\pi}(e^{\pi} - e^{- \pi}) $$

Encuentra a_n (los coeficientes del coseno):

$$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} e^x cos(nx) dx $$

Esta integral es más complicada debido a la interacción entre la exponencial e^x y el coseno cos⁡(nx). Se puede resolver mediante integración por partes o exponenciales complejas, pero por ahora la dejaremos así. La evaluación exacta requiere técnicas avanzadas.

Encuentra b_n (los coeficientes del seno):

$$ b_n \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} e^x sin(nx)\; dx $$

Al igual que el término coseno, este término seno implica una integral no trivial que requiere métodos avanzados para su evaluación exacta. También se puede resolver mediante integración por partes o exponenciales complejas.

La serie de Fourier de f(x) = e^x en el intervalo (−π, π) se puede escribir como:

$$ f(x) \;=\; \frac{e^{\pi} - e^{- \pi}}{2 \pi} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(nx) +b_n sin(nx)) $$

Dónde:

$$ a_0 \;=\; \frac{e^{\pi} - e^{- \pi}}{\pi} $$

a_n y b_n implican integrales más complejas que pueden resolverse con técnicas avanzadas (como la integración por partes o el uso de series de Fourier complejas).

Estos términos, a_n y b_n, no son triviales y generalmente implican un mayor esfuerzo para calcularlos explícitamente debido a la combinación de las funciones exponenciales y trigonométricas.

Para expandir f(x) = e^-x como una serie de Fourier en el intervalo (-l, l), la serie de fourier calculator expresa la función como una suma de senos y cosenos utilizando la fórmula estándar de la serie de Fourier.

Fórmula de la serie de Fourier:

La serie de Fourier de una función f(x) definida en el intervalo (-l, l) viene dada por:

$$ f(x) \;=\; \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n cos(\frac{n \pi x}{l} \right) + b_n\; sin \left(\frac{n \pi x}{l} \right) \right) $$

Donde:

a_0, a_n y b_n son los coeficientes de Fourier, definidos como:

$$ a_0 \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} f(x)\; dx $$

$$ a_n \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} f(x)\; cos \left(\frac{n \pi x}{l} \right) dx $$

$$ b_n \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} f(x) sin \left(\frac{n \pi x}{l} \right) dx $$

Encuentra a_0 (el valor promedio):

$$ a_0 \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} e^{-x} dx $$

La integral de e^-x es sencilla:

$$ \int e^{-x}\; dx \;=\; -e^{-x} $$

Ahora, evalúe la integral definida de -l a l:

$$ \int_{-l}^{l} e^{-x}\; dx \;=\; [-e^{-x}]_{-l}^{l} \;=\; -(e^{-l} - e^l) $$

Por lo tanto, el valor medio a0 es:

$$ a_0 \;=\; \frac{l}{l} [e^l - e^{-l}] $$

Encuentra a_n (los coeficientes del coseno):

$$ a_n \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} e^{-x} cos \left(\frac{n \pi x}{l} \right) dx $$

Esta integral es más compleja debido a la interacción entre la exponencial e^-x y la función coseno. Se puede resolver mediante integración por partes o utilizando exponenciales complejos, pero el resultado se puede expresar como:

$$ a_n \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} e^{-x} cos \left(\frac{n \pi x}{l} \right) dx $$

Encuentra b_n (los coeficientes del seno):

$$ b_n \;=\; \frac{l}{l} \int_{-l}^{l} e^{-x} sin \left(\frac{n \pi x}{l} \right)\; dx $$

De manera similar, esta integral senoidal es más complicada y se puede calcular mediante integración por partes o exponenciales complejas.

La expansión de la serie de Fourier de f(x) = e^{-x} en el intervalo (-l, l) es:

$$ f(x) \;=\; \frac{e^l - e^{-l}}{2l} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n cos \left(\frac{n \pi x}{l} \right) + b_n sin \left(\frac{n \pi x}{l} \right) \right) $$

Donde a_n y b_n se definen mediante las integrales anteriores, pero el cálculo exacto implica técnicas más avanzadas. La expansión expresa la función e^-x como una serie de funciones coseno y seno en el intervalo (-l, l).