Calculadora De Sustitucion Trigonometrica

Para integrar 1/√4−x² mediante sustitución trigonométrica, la calculadora sustitucion trigonometrica sigue estos pasos. La sustitución trigonométrica es útil para integrales que involucran expresiones como √a² −x², y aquí, tenemos a² = 4, por lo que a = 2.

Identificar la sustitución trigonométrica apropiada:

Para el integrando 1/√4-x², la sustitución estándar para √a²-x² es:

$$ x \;=\; a\; sin\; θ $$

Aquí a = 2 por lo que la sustitución se convierte en,

$$ x \;=\; 2 sin\; θ $$

Derivar x:

Derivamos x = 2 senθ para encontrar dx:

$$ dx \;=\; 2 cosθ\; dθ $$

Sustituir en la integral:

Ahora sustituya x = 2 sen θ y dx = 2 cosθ dθ en la integral original:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx \;=\; \int \frac{1}{\sqrt{4-(2 sin θ)^2}} . 2 cosθ dθ $$

Simplifica la raíz cuadrada:

$$ \sqrt{4-(2sin θ)^2} - \sqrt{4-4sin^2θ} - \sqrt{4(1-sin^2θ)} - 2\; cosθ $$

Entonces la integral se convierte en:

$$ \int \frac{1}{cosθ} . 2cosθ\; dθ $$

Simplifica la integral:

Los dos términos cosθ se cancelan: ∫ dθ

Esto se simplifica a: θ + C

Sustituir hacia atrás θ:

Como x = 2 senθ, resuelve θ: $$ sinθ \;=\; \frac{x}{2} $$

Por lo tanto, θ = arcsin (x/2)

Respuesta final:

Sustituya nuevamente θ = arcsin (x/2) en el resultado de la integral:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx \;=\; arcsin (\frac{x}{2}) + C $$

En la sustitución trigonométrica con coeficientes, la calculadora integrales trigonometricas utiliza identidades trigonométricas para simplificar integrales que involucran expresiones cuadráticas que incluyen coeficientes (como ax² + bx + c). Así es como funciona cuando se utilizan estos coeficientes, centrándose en las tres formas estándar de integrales.

Para ∫ 1/√a²-b²x² dx:

Esta forma tiene una raíz cuadrada con una diferencia de cuadrados que sugiere una sustitución del seno. El enfoque general es utilizar x = a/b senθ y así es como se procede.

Ejemplo: ∫ 1/√9-4x² dx

Identificar la estructura:

Podemos expresar esto como ∫ 1/√3²-(2x)² dx. Por lo tanto, compare esto con la forma estándar √a²-b²x², donde

• $$ a \;=\; 3 $$
• $$ b \;=\; 2 $$

Elige la sustitución:

Utilizamos la sustitución x = 3/2 sinθ para simplificar la raíz cuadrada. Derivando, obtenemos

$$ dx \;=\; \frac{3}{2} cosθ\; dθ $$

Sustituir en la integral:

Sustituya x = 3/2 sinθ y dx = 3/2 cosθ dθ en la integral original:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} dx \;=\; \int \frac{1}{\sqrt{9 - 9sin^2θ}} . \frac{3}{2} cosθ dθ $$

Simplifica la raíz cuadrada:

$$ \sqrt{9-9sin^2 θ} \;=\; 3 cosθ $$

Ahora la integral queda así:

$$ \int \frac{1}{3cosθ} . \frac{3}{2} cosθ dθ \;=\; \int \frac{1}{2} dθ $$

Integrar:

Ahora simplificamos e integramos:

$$ \frac{1}{2} θ + C $$

Sustituir hacia atrás θ:

Como x = 3/2 sinθ, resuelve para θ:

$$ sinθ \;=\; \frac{2x}{3} $$

De este modo:

$$ θ \;=\; arcsin (\frac{2x}{3}) $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} dx \;=\; \frac{1}{2} arcsin (\frac{2x}{3}) + C $$

Para ∫ 1/√a²+b² x² dx:

Esta forma sugiere una sustitución tangente porque implica una suma de cuadrados. La sustitución general es x = a/b tanθ.

Por ejemplo: ∫ 1/√4+9x² dx:

Reescribe la integral como ∫ 1/√2²+(3x²) dx. Así que aquí:

$$ a \;=\; 2 $$

$$ b \;=\; 3 $$

Elige la sustitución:

Utilizamos la sustitución x = 2/3 tanθ. Derivando, obtenemos:

$$ dx \;=\; \frac{2}{3} sec^2 θ\; dθ $$

Sustituir en la integral:

Sustituya x = 2/3 tanθ y dx = 2/3 sec² θ dθ en la integral original:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{4+4tan^2θ}} . \frac{2}{3} sec^2 θ dθ $$

Simplifica la raíz cuadrada:

$$ \sqrt{4 + 4tan^2θ} \;=\; 2secθ $$

Ahora la integral queda así:

$$ \int \frac{1}{2secθ} . \frac{2}{3} sec^2θ\; dθ \;=\; \int \frac{1}{3} secθ dθ $$

Integrar:

La integral de secθ es ln\biggr|secθ + tanθ\biggr|. Por lo tanto, obtenemos:

$$ \frac{1}{3} ln\biggr| secθ + tanθ \biggr| + C $$

Sustituir hacia atrás θ:

Como x = 2/3 tanθ, tenemos tanθ = 3x/2, y usando la identidad secθ = √1+tan²θ, obtenemos:

$$ secθ \;=\; \sqrt{1 + (\frac{3x}{2})^2} \;=\; \sqrt{1+ \frac{9x^2}{4}} \;=\; \sqrt{\frac{4 + 9x^2}{2}} $$

$$ \sqrt{\frac{1}{4 + 9x^2}} dx \;=\; \frac{1}{3} ln \biggr| \sqrt{\frac{4+9x^2}{2}} + \frac{3x}{2} \biggr| + C $$

La sustitución trigonométrica con la función secante es particularmente útil para integrales que involucran expresiones de la forma √x² - a². Aquí se explica cómo la calculadora sustitucion trigonometrica realiza la sustitución trigonométrica con cálculos de secante paso a paso.

Pasos para la sustitución secante:

Veamos un ejemplo detallado con a = 3.

Ejemplo: Integrar ∫ 1/x²-9 dx

Expresar la integral como ∫ 1/x²-3² dx

Usar la sustitución:

$$ x \;=\; 3sec(θ) $$

Luego, diferencia para encontrar dx:

$$ dx \;=\; 3sec(θ)\; tan(θ)\; dθ $$

$$ Sustituye\; x \;=\; 3sec(θ)\; y\; dx \;=\; 3sec(θ)\; tan(θ)\; dθ $$

$$ \frac{1}{\sqrt{(3\; sec(θ))^2-9}} . 3\; sec(θ)\; tan(θ)\; dθ: $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{(3\; sec(θ))^2-9}} . 3\; sec(θ)\; tan(θ)\; dθ $$

Simplifica la raíz cuadrada:

$$ \sqrt{9\; sec^2(θ)-9} \;=\; \sqrt{9(sec^2(θ)-1)} \;=\; \sqrt{9\; tan^2(θ)} \;=\; 3\; tan(θ) $$

Entonces la integral se convierte en:

$$ \int \frac{3sec(θ)\; tan(θ)}{3tan(θ)} \;=\; \int sec(θ)\; dθ $$

La integral de sec(θ) es:

$$ \int sec(θ)\; dθ \;=\; ln \biggr| sec(θ) + tan (θ) \biggr| + C $$

Sustituir hacia atrás θ: Ya que tenemos:

$$ sec(θ) \;=\; \frac{x}{3} y\; tan(θ) \;=\; \sqrt{sec^2(θ) - 1} \;=\; \sqrt{(\frac{x}{3})^2-1} \;=\; \sqrt{\frac{x^2 - 9}{3}} $$

Por lo tanto:

$$ sec(θ) + tan(θ) \;=\; \frac{x}{3} + \frac{\sqrt{x^2-9}}{3} \;=\; \frac{x + \sqrt{x^2-9}}{3} $$

Sustituya nuevamente para obtener el resultado final:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} dx \;=\; ln \biggr| \frac{x + \sqrt{x^2-9}}{3} \biggr| + C $$

La sustitución trigonométrica con tangente se utiliza normalmente para integrales que involucran expresiones de la forma √a² + x² o √x² - a². La calculadora integrales trigonometricas utiliza lo siguiente para resolver dichos problemas:

Cuándo utilizar la sustitución tangente:

• Para √a²+x², utiliza la sustitución:

$$ x \;=\; a\; tan(θ) $$

• Para √x²-a², utiliza la sustitución:

$$ x \;=\; asec(θ) $$

Ejemplo: Integrar ∫√4+x² dx (Usando la tangente),

Resolvamos esto paso a paso utilizando la primera sustitución:

Elige la sustitución:

Como tenemos √4+x², establecemos:

$$ x \;=\; 2\; tan(θ) (donde\; a \;=\; 2) $$

Luego, derivamos para encontrar dx:

$$ dx \;=\; 2\; sec^2(θ)\; dθ $$

Sustituir en la integral:

Ahora sustituya x = 2 tan(θ) y dx = 2 sec² (θ) dθ

$$ \int \sqrt{4 + (2tanθ))^2} . 2\; sec^2\; (θ)dθ $$

Simplificando la expresión bajo la raíz cuadrada:

$$ \sqrt{4 + 4tan^2(θ)} \;=\; \sqrt{4(1 + tan^2(θ))} \;=\; \sqrt{4 sec^2(θ)} \;=\; 2sec(θ) $$

Ahora la integral queda así:

$$ \int 2sec(θ) . 2sec^2(θ) \;=\; 4 \int sec(θ)\; sec^2(θ)\; dθ $$

Integrar:

$$ \int sec^3(θ)\; dθ \;=\; \frac{1}{2} (sec(θ)\; tan(θ)\; + ln \biggr|sec(θ) + tan(θ)\biggr|) + C $$

Reescribe la integral:

$$ 4 \int sec^3(θ)\; dθ \;=\; 4 . \frac{1}{2} (sec(θ)\; tan(θ) + ln \biggr|sec(θ) + tan(θ)\biggr|) + C $$

$$ =\; 2 (sec(θ)\; tan(θ)\; + ln \biggr| sec(θ)\; + tan(θ) \biggr|) + C $$

Sustitución de vuelta:

Convertir de nuevo a x:

$$ De\; x \;=\; 2\; tan(θ),\; tenemos\; tan(θ) \;=\; \frac{x}{2} $$

Usando la identidad sec²(θ) = 1 + tan²(θ), encontramos sec(θ) = √1+(x/2)² = √x²+4/2,

De este modo,

$$ sec(θ) \;=\; \sqrt{x^2 + \frac{4}{2}} $$

$$ tan(θ) \;=\; \frac{x}{2} $$

Sustituyendo estas de nuevo en:

$$ =\; 2 (\sqrt{x^2 + \frac{4}{2}} . \frac{x}{2} + ln \biggr| \sqrt{x^2 + \frac{4}{2}} + \frac{x}{2}\biggr|) + C $$

$$ =\; x\sqrt{x^2 + \frac{4}{2}} + ln \biggr| \sqrt{x^2 + 4 + \frac{x}{2}} \biggr| + C $$

Entonces el resultado es:

$$ \int \sqrt{4 + x^2} dx \;=\; x\sqrt{x^2 + \frac{4}{2}} + ln \biggr| \sqrt{x^2 + 4} + x \biggr| + C $$

La sustitución trigonométrica también se puede aplicar a integrales que involucran funciones exponenciales, en particular cuando se tienen expresiones como √x² + a² o √x² - a². Aquí se incluyen detalles completos de cómo la calculadora sustitucion trigonometrica resuelve dichos problemas, incluidos ejemplos específicos.

Casos comunes de sustitución trigonométrica:

• Para √x²+a²

Utilice la sustitución x = a tan(θ)

Esto nos lleva a dx = a sec²(θ) dθ.

• Para √x²-a²:

Utilice la sustitución x = a sec(θ)

Esto nos lleva a dx = a sec(θ) tan(θ) dθ

• Para √a²-x²:

Utilice la sustitución x = a sen(θ)

Esto nos lleva a dx = a cos(θ) dθ

Ejemplo: Integrar ∫ 1/x²+4 dx

Elige la sustitución:

Como tenemos √x²+4, establecemos:

x = 2 tan(θ) (donde a = 2)

Luego, derivamos para encontrar dx:

$$ dx \;=\; 2 sec^2(θ)\; dθ $$

Sustituir en la integral:

Ahora sustituya $$ x \;=\; 2\; tan(θ)\; y \;dx \;=\; 2sec^2(θ)\; dθ $$

$$ \int \frac{2sec^2(θ) dθ}{(2tan(θ))^2 + 4} \;=\; \int \frac{2sec^2(θ) dθ}{\sqrt{4tan^2 (θ) + 4}} \;=\; \int \frac{2 sec^2(θ) dθ}{\sqrt{4(tan^2 (θ) + 1)}} $$

$$ =\; \int \frac{2sec^2(θ)\; dθ}{\sqrt{4\; sec^2(θ)}} \;=\; \int \frac{2sec^2(θ) dθ}{2sec(θ)} \;=\; \int sec(θ) dθ $$

Integrar:

La integral de sec(θ) es:

$$ \int sec(θ)\; dθ \;=\; ln \biggr| sec(θ) + tan(θ) \biggr| + C $$

Sustitución de vuelta:

Ahora, vuelve a convertir a x:

• De x = 2 tan(θ), tenemos tan(θ) = x/2
• Usando la identidad sec²(θ) = 1 + tan²(θ), encontramos sec(θ) = √1+(x/2)² = √x²+4/2.

De este modo:

$$ sec(θ) \;=\; \sqrt{x^2 + \frac{4}{2}} $$

$$ tan(θ) \;=\; \frac{x}{2} $$

Sustituyendo estas de nuevo en:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} dx \;=\; ln \biggr| \sqrt{x^2 + 4/2} + \frac{x}{2} \biggr| + C \;=\; ln \biggr| \sqrt{x^2 + 4} + x \biggr| - ln(2) + C $$

Entonces el resultado final es:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} dx \;=\; ln \biggr| \sqrt{x^2 + 4} + x \biggr| + C $$