¿Qué es la Antiderivada Formula?
La Fórmula antiderivada, también conocida como fórmula integral indefinida , es una expresión matemática que representa la operación inversa de diferenciación. En otras palabras, nos dice cómo encontrar la función original (la primitiva) a partir de su derivada. La forma general de la formula de la antiderivada se denota por el símbolo integral ∫ seguido del integrando f(x) y el diferencial dx:
$$ \int f( x ) dx \; = \; F ( x ) + C $$
Dónde,
F(x) = antiderivada de f(x)
C = es una constante arbitraria de integración
La constante de integración representa la familia de todas las antiderivadas posibles de la función, ya que diferentes valores de C darán como resultado diferentes antiderivadas.
Formula Antiderivada Básicas:
En cálculo, una primitiva, función primitiva, integral primitiva o integral indefinida de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f. Algunas de las fórmulas escritas usando integral se dan a continuación:
- $$ \int e^{x} dx \; = \; e ^ {x} + C $$
- $$ \int a^{x} dx \; = \; \frac {a^{x} {\ln a}} + C $$
- $$ \int \frac {1} {x} dx \; = \; \ln | x | + C $$
- $$ \int cos x \; dx \; = \; sin x + C $$
- $$ \int sec ^{2} x \; dx \;= \; tan x + C $$
- $$ \int sin(x) dx \; = \; -cos x + C $$
- $$ \int csc^ {2} x \; dx \; = \; -cot x + C $$
- $$ \int sec x \; \tan x \; dx \; = \; sec x + C $$
- $$ \int \frac {1} {1+x^{2}} \; dx \; = \; tan^{-1} x + C $$
- $$ \int \frac {1} {\sqrt {1-x^{2}}} \; dx \; = \; \arcsin x + C $$
- $$ \int csc x \cot x \; dx \; = \; -\csc x + C $$
- $$ \int sec x \; dx \; = \; \ln \left | \sec x+\tan x \right | + C $$
- $$ \int csc x\:dx= \ln |csc x-cot x | +C $$
- $$ \int x^ {n} \; dx \; = \; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
- $$ \int sinh x \; dx \; = \; cosh x+C $$
- $$ \int cosh x \; dx \; = \; sinh x+C $$
Ejemplos de Formula de la Antiderivada:
A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas y soluciones de antiderivada formula:
Ejemplo 1: Encuentre la antiderivada de f(x) = 2x2.
Solución:
Usando la regla de la potencia tenemos:
$$ \int f ( x ) d x \; = \; \int 2 x^{2} d x $$
$$ 2 \int x^ ❴2 ❵ d x \; = \; 2 x ^ \ ( \frac {3}{3} \ ) + C $$
Por lo tanto, la antiderivada de
$$ f ( x ) \; = \; 2x^ {2} es F ( x ) \; = \; 2 x^ \ ( \frac {3}{3} \ )+ C $$,
Donde C es una constante arbitraria.
Ejemplo 2: Encuentre la antiderivada de f(x) = 1/x.
Solución:
Usando la regla recíproca tenemos:
$$ \int f ( x ) d x \; = \; \int \ ( \frac {1}{x} ) d x \; = \; \int ( x ) + C $$
Por lo tanto, la antiderivada de
$$ f (x) \;=\; \biggr( \frac{1}{x} \biggr) $$ es
$$ f (x) \;=\; \ln (x) + C $$
Donde C es una constante arbitraria.
Reglas de la Formula de Antiderivada:
Aquí hay algunas reglas de la antiderivada formula.
-
Regla de Suma:
La formula antiderivada de la suma de dos funciones f(x) y g(x) es la suma de las antiderivadas de f(x) y g(x). En otras palabras,
$$ \int \left [ f ( x ) + g ( x ) \right ] d x \; = \; \int f ( x ) d x + \int g ( x ) d x $$
-
Regla de Diferencia:
La formula de la antiderivada de la diferencia de dos funciones f(x) y g(x) es la diferencia de las antiderivadas de f(x) y g(x). En otras palabras,
$$ \int [ f ( x ) - g ( x ) ] \; = \; \int f ( x ) d x - \int g ( x ) d x $$
-
Regla Múltiple Constante:
La formula de antiderivada de un múltiplo constante de una función f(x) es el múltiplo constante de la antiderivada de f(x). En otras palabras, si k es una constante, entonces
$$ \int k*f ( x ) \; = \; k \int f ( x ) d x $$
-
Regla de Potencia de la Antiderivada Formula:
La regla de potencia de antidiferenciación establece que la integral de xn es x(n+1)/(n+1), donde n es cualquier número real excepto −1. Esto se puede escribir matemáticamente como:
$$ \int x^n dx \;=\; \biggr( \frac{x^{n+1}}{n+ 1} \biggr) + C $$
Donde C es la constante de integración.
La regla de la potencia es una herramienta fundamental en el cálculo y se utiliza para encontrar las primitivas de muchas funciones comunes. Por ejemplo, la primitiva de x 2; es x3 / 3 y la primitiva de 1 / x es ln(x).
Antiderivada de Funciones Trigonométricas:
La antiderivada integracion por formula de funciones trigonométricas depende de la función trigonométrica específica. Aquí están las formula antiderivadas para las funciones trigonométricas más comunes:
Las formula de la antiderivadas de las seis funciones trigonométricas básicas son las siguientes:
Además, para obtener más información, también puede explorar las integrales trigonometricas formulario .
Función Seno (sin(x)):
La primitiva de sin(x) es,
$$ \int \sin(x) dx \;=\; -cos(x) + C $$
donde C es la constante de integración.
Función Coseno (cos(x)):
La antiderivada de cos(x),
$$ \int \cos ( x ) d x \; = \; \sin ( x ) + C $$
donde C es la constante de integración.
Función Tangente (tan(x)):
La antiderivada de tan(x) es,
$$ \int \tan ( x ) dx \; = \; \sec^ {2} ( x ) + C $$
donde C es la constante de integración y sec(x) es la función secante, definida como 1/cos(x).
Función Cotangente (cot(x)):
La antiderivada de cot(x),
$$ \int \cot(x) dx \;=\; -csc^{2} + C $$
donde C es la constante de integración y csc(x) es la función cosecante, definida como 1/ sin(x).
Función Secante (sec(x)):
La antiderivada de sec(x),
$$ \int \sec ( x ) d x \; = \; \sec ( x ) tan ( x ) + C $$
donde C es la constante de integración.
Función Cosecante (csc(x)):
La antiderivada de csc(x),
$$\int csc ( x ) d x \; = \; -csc ( x ) cot ( x ) + C $$
donde C es la constante de integración.
Antiderivada Integracion por Formula para la Función Exponencial:
La antiderivada formula para la función exponencial e 3/3x es
$$ e^{x} + C $$
Donde C es una constante arbitraria de integración. Esta fórmula se puede derivar utilizando el método de integración por partes.
Aquí está la derivación de la formula antiderivada para la función exponencial:
Sean u = ex y dv = dx. Entonces du = ex dx y v = x. Sustituyéndolos en la fórmula de integración por partes, obtenemos:
$$ \int u dv \;=\; uv - \int vdu $$
$$ \int e^ {x} dx \; = \; e^ {x} * {x} - \int x e^ {x} dx $$
$$ \int e^ {x} dx \; = \; xe^ {x} - \int e^ {x} dx $$
$$ \int e^ {x} dx \; = \; (x - 1) e^ {x} + C $$
Por lo tanto, la primitiva de ex es ex + C, donde C es una constante de integración arbitraria.
Relacionado: Entender el concepto de integrales y analizar formula de las integrales también es importante y para eso te vamos a ayudar.
Conclusión:
Para concluir, el concepto de antiderivadas se extiende más allá del ámbito de las matemáticas puras y encuentra aplicaciones en diversos campos. El dominio de las antiderivada formula es esencial para comprender y resolver una amplia gama de problemas matemáticos y del mundo real.
A medida que te adentres más en el mundo del cálculo, descubrirás las aplicaciones de gran alcance de las antiderivadas y su profundo impacto en diversas disciplinas científicas.
