¿Qué es la Formula de Integrales por Partes?
La integración por partes es una técnica en cálculo para evaluar la integral del producto de dos funciones. Se basa en la regla de diferenciación del producto inverso, que establece que la integral del producto de dos funciones u(x) y v(x) es igual al producto de u(x) y la primitiva de v(x) menos la integral del producto de v(x) y la derivada de u(x). La formula integracion por partes es:
$$ \int u(x)v'(x) dx \; = \; u(x) v(x) - \int v(x)u'(x) dx $$
dónde:
- u(x) es la primera función a integrar
- v(x) es la segunda función a integrar
- u'(x) es la derivada de u(x)
- v'(x) es la derivada de v(x)
La fórmula también se puede escribir de forma más compacta como:
$$ \int u dv \; = \; uv - \int v du $$
Derivación de la Formula Integracion por Partes:
La integración por partes fórmula fue introducida por primera vez por Brook Taylor en su obra de 1715 Methodus Incrementorum Directus et Inversus, que significa El método de los incrementos directos e inversos. Taylor, un matemático inglés, es mejor conocido por las series de Taylor, un método para aproximar funciones utilizando series infinitas.
La derivación de la formula de integrales por partes implica la regla de diferenciación del producto. La regla del producto establece que la derivada del producto de dos funciones, u(x) y v(x), es igual al producto de las derivadas de las funciones individuales más el producto de las funciones originales. Matemáticamente se puede expresar como:
(uv)' = u'v + uv'
Integrando ambos lados de esta ecuación obtenemos:
$$ \int (uv)' dx \; = \; \int u'v dx + \int uv' dx $$
Usando el método de sustitución, podemos hacer que u(x) = v' y v(x) = u, y reorganizar la ecuación para obtener la formula para integrar por partes:
$$ \int u dv \; = \; uv - \int v du $$
El trabajo de Taylor sobre la integración por partes sentó las bases para un mayor desarrollo del cálculo y sus aplicaciones. La fórmula se ha convertido en una herramienta esencial para resolver problemas integrales que involucran el producto de dos funciones.
Relacionado: También puede ir a la página formulas integracion y explorar estas fórmulas.
Visualización de Formula de Integración por Partes
Visualizar la integración por partes puede ayudarle a comprender el concepto de forma intuitiva y comprender el principio subyacente detrás de la fórmula. Una forma de visualizar la integración por partes es considerar la relación entre las áreas bajo las curvas y las integrales que las representan.
Consideremos que tenemos una curva que tiene la función x(y) a lo largo del eje y y a través de los límites [y1, y2]. También podemos considerar la curva a lo largo del eje x, teniendo la función y(x) a través de los límites [x1, x2].
- Área de la región amarilla =∫y2y1 x(y)·dy
- Área de la región azul = ∫x2x1 y(x)·dx
Algunas Fórmulas de Integración por Partes:
Aquí hay algunas fórmulas que se han derivado de la integración por partes fórmula y nos ayudan a integrar varias expresiones algebraicas:
- $$ \int e^x (f(x) + f'(x))·dx \; = \; e^x f(x) + C $$
- $$ \int \sqrt{(x^2 + a^2)}·dx \;=\; \int \sqrt{(x^2 + a^2)}·dx \; = \; \frac{x}{2}\sqrt{(a^2 + x^2)} + \frac{a^2}{2} \log \biggr| x + \sqrt{(a^2 + x^2)} \biggr| + C $$
Ejemplos de Formula de Integrales por Partes
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo utilizar la formula integracion por partes:
Ejemplo 1: Evaluar la integral definida de la función f(x) = x^2 de -1 a 2.
Solución:
La función f(x) = x^2 se define por partes de la siguiente manera:
f(x) = x^2 a ser x ≤ 0
f(x) = x^2 + 1 a ser x > 0
El punto de ruptura de la función es x = 0. Por tanto, podemos dividir la integral en dos partes, una para el intervalo [-1,0] y otra para el intervalo [0,2].
$$ \int_{-1}^{2} x^2 dx $$
$$ \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx $$
Valorando cada pieza obtenemos:
$$ \int_{-1}^{2} x^2 dx $$
$$ \biggr(\frac{x^3}{3} \biggr) \biggr|_{-1}^{0} + \biggr(\frac {x^3}{3} + x \biggr) \biggr|_{0}^{2} $$
$$=\; \biggr( \frac{0}{3} - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} + 2 \biggr) - (0 + 0) $$
$$ =\; \frac{7}{3} $$
Por tanto, la integral definida de f(x) = x^2 de -1 a 2 es igual a 7/3.
Además, obtenga las formulas de la integral definida detalladas y comprenda cada detalle.
Ejemplo 2: Evaluar la integral definida de la función f(x) = |x| - x de -2 a 1 usando la fórmula integral por partes.
Solución:
La función f(x) = |x| - x se define por partes de la siguiente manera:
f(x) = |x| - x if x ≥ 0
f(x) = -|x| - x if x < 0
El punto de ruptura de la función es x = 0. Por tanto, podemos dividir la integral en dos partes, una para el intervalo [-2,0] y otra para el intervalo [0,1].
$$ \int_{-2}^{1} |x| - x dx $$
$$ \int_{-2}^{0} \biggr(-|x| - x \biggr) dx + \int_{0}^{1} \biggr(|x| - x \biggr) dx $$
Valorando cada pieza obtenemos:
$$ \int_{-2}^{1} |x| - x dx $$
$$ \biggr(\frac {-x^2}{2} - x^2 \biggr) \biggr|_{-2}^{0} + \biggr( \frac {x^2}{2} - x^2 \biggr) \biggr|_{0}^{1} $$
$$ =\; (4 - 4) + \biggr( \frac{1}{2} - 1 \biggr) $$
$$ -\frac{1}{2} $$
Por tanto, la integral definida de f(x) = |x| - x de -2 a 1 es igual a -1/2.
Aplicaciones de la Formula de Integrales por Partes:
La aplicación de integración por partes fórmula es para funciones o expresiones. Aquí intentamos incluir la formula de integracion por partes e intentamos derivar la integral. No existen fórmulas integrales para funciones logarítmicas ni para funciones trigonométricas inversas. Encontremos la integración de log x y tan-1x.
Integración de la Función Logarítmica:
$$\int \log x dx \; = \; \int \log x.1·dx $$
$$\log x. \int 1 dx - \int ((log x)'.\int 1·dx $$
$$ \log x·x - \int (\frac {1}{x} · x) · dx $$
$$ x \log x - \int 1·dx $$
$$ x \log x - x + C $$
Integración de Funciones Trigonométricas Inversas:
$$ \int \tan^{-1} x·dx \; = \; \int \tan^{-1} x.1·dx $$
$$ \tan^{-1} x ·\int 1·dx - \int ((\tan^{-1} x)' . \int 1·dx)·dx $$
$$ \tan^{-1} x· x - \int \biggr(\frac{1}{1+x^2} \biggr)·x)·dx $$
$$ x· \tan^{-1} x - \int \frac {2x}{2(1+x^2)}·dx $$
$$ x· \tan^{-1} x - \frac{1}{2}. \log (1 + x^2)) + C $$
Sin embargo, explore algunas formulas trigonometricas integrales diferentes y aprenda cada detalle.
Conclusión:
La formula de integrales por partes es un testimonio del ingenio y el poder de las matemáticas. Su impacto se extiende mucho más allá del ámbito del cálculo, moldeando nuestra comprensión del mundo y capacitándonos para resolver problemas del mundo real con delicadeza y precisión.
A medida que sigamos profundizando en el universo matemático, la integración por partes seguirá siendo, sin duda, una luz guía que iluminará nuestro camino hacia nuevos descubrimientos y avances.
