¿Qué son las Formulas de Integracion Directa?
Las formulas para integrar son un conjunto de fórmulas que se pueden utilizar para integrar funciones comunes sin necesidad de técnicas especiales. Estas fórmulas se basan en el teorema fundamental del cálculo, que establece que la integral de una función es la inversa de su derivada.
Algunas de las integrales directas formulas más comunes incluyen:
Regla de Poder
La regla del poder establece que:
$$ \int x^n \;=\; \int \frac{x^{(n+1)}}{(n+1)} + C \;,\;\;\;\;\; dónde n ≠ -1 $$
Reglas Exponenciales
La regla exponencial para resolver problemas de integración es la siguiente:
$$ \int a^x dx \;=\; \frac{a^x}{ln(a)} + C $$
$$ \int e^x dx \;=\; e^x + C $$
Regla Logarítmica:
La regla logarítmica establece que:
$$ \int \frac{1}{x} \;=\; ln|x| + C $$
Reglas Trigonométricas:
Existen varias formulas de integracion directa para funciones trigonométricas, como sin x, cos x, tan x y sec x. Estos son los siguientes:
$$ \int sin(x) dx \;=\; -cos(x) + c $$
$$ \int cos(x) dx \;=\; sin(x) dx $$
$$ \int \frac{1}{cos^2(x)} dx \;=\; \int sec^2(x) dx \;=\; \int (1+tan^2x) dx \;=\; tan(x) + C $$
$$ \int \frac{1}{sin^2(x)} dx \;=\; \int cosec^2(x) dx \;=\; \int (1+cot^2x) dx \;=\; -cot(x) + C $$
$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;=\; sin^{-1}x + C $$
$$ \int \frac{1}{1+x^2} \;=\; tan^{-1}x + C $$
Explore también más formulas de integracion trigonometrica y comprenda cada detalle.
Cómo Utilizar la Formulas para Integrar
Para utilizar una formula para integrar, simplemente identifique la función en el integrando y busque la fórmula correspondiente en la tabla. Por ejemplo, para integrar sen x, usaríamos la siguiente fórmula:
$$ \int sin(x) dx \;=\; -cos(x) + c $$
Para integrar e^x, usaríamos la siguiente fórmula:
$$ \int e^x dx \;=\; e^x + C $$
Y para integrar 1/x, usaríamos la siguiente fórmula:
$$ \int \frac{1}{x} \;=\; ln|x| + C $$
Una vez que hayamos encontrado la fórmula adecuada, simplemente podemos sustituir el integrando en la fórmula y evaluar la integral .
Ejemplos de Integrales Directas Formulas
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo utilizar formulas de integracion directa:
Ejemplo 1: Resolver ∫ x5 dx
Solución:
Para resolver la expresión anterior usaremos la siguiente fórmula integral:
$$ \int x^n dx \;=\; \int \frac{x^{(n+1)}}{(n+1)} + C \;,\;\;\;\;\; donde n ≠ -1 $$
De modo que,
$$ \int x^5 dx \;=\; \int \frac{x^{(5+1)}}{(5+1)} + C $$
$$ \int x^5 dx \;=\; \int \frac{x^{(6)}}{(6)} + C $$
Ejemplo 2: Resolver ∫ 5/x2 dx
Solución:
Antes de aplicar cualquier fórmula, debemos convertirla a su forma simple, es decir,
$$ \frac{1}{x^n} \;=\; x^{-n} $$
Entonces,
$$ \int \frac{5}{x^2} dx \;=\; \int 5x^{-2} dx $$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla de potencia que establece que:
$$ \int x^n \;=\; \int \frac{x^{(n+1)}}{(n+1)} + C \;,\;\;\;\;\; donde n ≠ -1 $$
De modo que,
$$ \int \frac{5}{x^2} dx \;=\; \int 5x^{-2} dx$$
$$ \int \frac{5}{x^2} dx \;=\; \frac{5x^{-2+1}}{-2+1} $$
$$ \int \frac{5}{x^2} dx \;=\; \frac{5x^{-1}}{-1} $$
Tipos de Formula para Integrar
Las formulas de integracion directa se pueden clasificar en varios tipos diferentes, que incluyen:
Integrales Directas Formulas Básicas:
Estas fórmulas son las más comunes y se pueden utilizar para integrar una amplia variedad de funciones.
$$ \int x^{n} dx \;=\; \frac{x(n+1)}{(n+1)} + C $$
$$ \int 1 dx \; = \; x + C $$
$$ \int e^{x} dx \; = \; e^{x} + C $$
Además, explore las fórmulas de las integrales básicas y comprenda el concepto.
Formulario de Integrales Directas Trigonométricas:
Estas fórmulas están diseñadas específicamente para integrar funciones trigonométricas.
- $$ \int cos x dx \; = \; sin x + C $$
- $$ \int sin x dx \; = \; -cos x + C $$
- $$ \int sec^{2} x dx \; = \; tan x + C $$
- $$ \int cosec^{2} x dx \; = \; -cot{x} + C $$
- $$ \int sec{x} tan{x} dx \; = \; sec{x} + C $$
- $$ \int cosec{x} cot{x} dx \; = \; -cosec{x} + C $$
- $$ \int tan{x} dx \; = \; log \left |sec x \right | + C $$
- $$ \int cot{x} dx \; = \; log \left |sin x \right | + C $$
- $$ \int sec{x} dx \; = \; log \left |sec x + tan x \right | + C $$
- $$ \int cosec{x} dx \; = \; log \left |cosec x - cot x \right | + C $$
Formulas de Integracion Directa Logarítmicas:
Estas fórmulas están diseñadas específicamente para integrar funciones logarítmicas.
- $$ \int \frac{1}{x} dx \; = \; ln \left |x \right | + C $$
Integrales Directas Formulas Avanzadas:
Además de las formulas de integracion directa básicas, también hay una serie de formula para integrar avanzadas que se pueden utilizar para integrar funciones más complejas. Algunas de las formulario de integrales directas avanzadas más comunes incluyen:
Integración por Partes:
La integración por partes es una técnica utilizada en cálculo para encontrar la integral de un producto de dos funciones. Se basa en la regla de diferenciación del producto, que establece que la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de las derivadas de las dos funciones más el producto de la primera función y la derivada de la segunda función. La fórmula de integración por partes es:
$$ \int uv dx = uv - ∫ v'u dx $$
Donde u y v son dos funciones cualesquiera de x.
Sustitución en U:
La sustitución U es una técnica utilizada en cálculo para evaluar integrales de funciones compuestas, lo que significa que están formadas por otras funciones. Se basa en la regla de la cadena de diferenciación, que establece que la derivada de una función compuesta es igual al producto de las derivadas de las funciones interna y externa.
La fórmula para la sustitución de U es:
$$ \int f(g(x)) g'(x) dx \; = \; ∫ f(u) du $$
donde u = g(x) y du = g'(x) dx.
Fracciones Parciales:
Las fracciones parciales son una técnica utilizada en cálculo para integrar funciones racionales. Se basa en el hecho de que cualquier función racional se puede descomponer en una suma de funciones racionales más simples, cada una de las cuales tiene un denominador que es un factor lineal o cuadrático del denominador original.
La fórmula para fracciones parciales es:
$$ \int R(x) dx \;=\; \int \biggr(\frac{A}{x} - a \biggr) dx + \int \biggr( \frac{B}{x} - b \biggr) dx + …+ \int \biggr(\frac{D}{x^2 + ax + b} \biggr) dx $$
donde R(x) es la función racional a integrar, A, B, ..., D son constantes, y a, b, ..., c son las raíces del denominador de R(x).
Relacionado: Comprenda el concepto de integración por partes y aprenda también la formulas de integrales por partes.
Conclusión
Las formulas de integracion directa son una herramienta poderosa que se puede utilizar para integrar una amplia variedad de funciones. Al comprender los conceptos básicos de las integrales directas formulas y cómo utilizarlas, podrá ahorrarse mucho tiempo y esfuerzo al resolver problemas de cálculo.
