¿Qué es la Integral Definida Formula?
La integrales definidas formula es una expresión matemática que representa el área bajo la curva de una función entre dos puntos específicos. Se denota por
$$ \int_a^b f(x) dx $$
Dónde:
- f(x) es la función que se está integrando
- a es el límite inferior de integración
- b es el límite superior de integración
- ∫ representa el símbolo integral
Además de los símbolos integrales, también puedes explorar las formula integrales en detalle.
Cómo Utilizar una Integrales Definidas Formula:
Para utilizar una integral definida formula, necesitamos,
- Identificar la función y el intervalo de integración.
- Encuentra la primitiva F(x) de la función f(x)
- Aplicar la formula integral definida. Sustituya la primitiva F(x), el límite inferior a y el límite superior b en la fórmula integral definida:
$$ \int_a^b f(x) dx \; = \; F(b) - F(a) $$
- Simplifica la expresión restando F(a) de F(b). El resultado representa la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b].
- Interpretar el valor de la integral definida.
Además, también puedes conocer los detalles de la formula integrales indefinidas.
Ejemplos de Integrales Definidas Formulas:
Ejemplo 1:
Evalúe el valor de:
$$ \int_2^3 x^2 dx $$
Solución:
$$ \int_2^3 x^2 dx $$
$$ \int x^2 dx \;=\; \frac{(x^3)}{3} $$
$$ \int_2^3 x^2 dx \;=\; \biggr(\frac{(x^3)}{3} \biggr)_2^3 $$
$$ \frac{(3^3)}{3} - \frac{(2^3)}{3} $$
$$ =\; \biggr(\frac{27}{3} \biggr) – \biggr(\frac{8}{3} \biggr) $$
$$ =\; \frac{\biggr( 27 – 8 \biggr)}{3} $$
$$ \frac{19}{3} $$
Por lo tanto, ∫23 x^2 dx = 19/3
Ejemplo 2:
Calcular:
$$ \int_0^\frac{π}{4} sin 2x dx $$
Solución:
$$ I \; = \; \int_0^\frac{π}{4} sin 2x dx $$
$$ \int sin 2x dx \; = \; \biggr(\frac{-1}{2} \biggr) cos 2x $$
$$ I \; = \; \int_0^\frac{π}{4} sin 2x dx $$
$$ \biggr(\frac{-1}{2} \biggr) cos 2x \biggr|_0^\frac{π}{4} $$
$$ \biggr(\frac{-1}{2} \biggr) cos 2 \biggr(\frac{π}{4} \biggr) - \biggr(\frac{-1}{2}\biggr) cos 2(0) $$
$$ \biggr(\frac{-1}{2}\biggr) cos \frac{π}{2} + \biggr(\frac{1}{2} \biggr) cos 0 $$
$$ - \frac{1}{2} (\theta) + \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{2} $$
Por lo tanto, ∫0π/4 sin 2x dx = ½
Formula Integral Definida Como Suma Límite:
La integral definida formula se puede expresar como un límite de sumas de Riemann. Una suma de Riemann es una suma finita que se aproxima a la formula de la integral definida de una función. La suma de Riemann se forma dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y aproximando el área bajo la curva.
Hay dos tipos principales de sumas de Riemann: sumas de Riemann izquierdas y sumas de Riemann derechas. Una suma de Riemann izquierda usa el punto final izquierdo de cada subintervalo para determinar la altura del rectángulo, mientras que una suma de Riemann derecha usa el punto final derecho.
La integral definida formula es el límite de estas sumas de Riemann cuando el número de subintervalos se acerca al infinito.
Suma de Riemann Izquierda:
Para una función f(x) y un intervalo [a, b], una suma de Riemann izquierda con n subintervalos de igual ancho viene dada por:
$$ \sum(f(a) * \Delta x) $$
donde Δx = (b - a) / n es el ancho de cada subintervalo.
Suma de Riemann Derecha:
Una suma de Riemann correcta con n subintervalos viene dada por:
$$ \sum (f(a + n \Delta x) * \Delta x) $$
Formula de la Integral Definida como Límite de Sumas de Riemann:
La integral definida formula de f(x) en el intervalo [a, b] se define como el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subintervalos se acerca al infinito:
$$ \int a^b f(x) dx \; = \; \lim_{(x\to 0)} \sum(f(xi) * \Delta x) $$
donde xi es el punto final izquierdo o derecho del iésimo subintervalo.
Propiedades de la Formula de Integral Definida:
Las integrales definidas poseen varias propiedades esenciales que gobiernan su comportamiento y simplifican los cálculos. Estas propiedades son cruciales para comprender y aplicar integrales definidas de manera efectiva en diversos contextos matemáticos y físicos. Estas son algunas de las propiedades fundamentales de las integrales definidas:
Linealidad:
Las integrales definidas son funciones lineales del integrando. Esto significa que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones individuales. En otras palabras, para cualquier función f(x) y g(x) y constantes k1 y k2:
$$ \int a^b [k1 f(x) + k2g(x)] dx $$
$$ k1 \int a^b f(x) dx + k2 \int a^b g(x) dx $$
Múltiplo Constante:
La integral de un múltiplo constante de una función es igual al múltiplo constante de la integral de la función. Para cualquier constante k y función f(x):
$$ a^b kf(x) dx \; = \; k \int a^b f(x) dx $$
Propiedad Aditiva:
La integral de una función sobre una unión disjunta de intervalos es igual a la suma de las integrales sobre los intervalos individuales. Para cualquier función f(x) e intervalos [a, b] y [b, c]:
$$ \int a^c f(x) dx $$
$$ \int a^b f(x) dx + \int b^c f(x) dx $$
No Negatividad:
La integral de una función no negativa siempre es no negativa. Para cualquier función no negativa f(x):
$$ \int a^b f(x) dx \ge 0 $$
Teorema del Valor Medio:
La formulas de integrales definidas de una función en un intervalo es igual al producto de la longitud del intervalo y el valor de la función en algún punto dentro del intervalo. Para cualquier función f(x) e intervalo [a, b]:
$$ \int a^b f(x) dx \; = \; (b - a) f(c) $$
donde c es algún valor en el intervalo [a, b].
Teorema Fundamental del Cálculo:
La integral definida formula de una función es igual a la diferencia entre la primitiva de la función evaluada en los límites superior e inferior de integración. Para cualquier función f(x) con antiderivada F(x) e intervalo [a, b]:
$$ \int a^b f(x) dx \; = \; F(b) - F(a) $$
Conclusión:
Para concluir, la formula de integral definida ha surgido como una poderosa herramienta para calcular áreas bajo curvas, volúmenes de sólidos, trabajo realizado por fuerzas y muchos más. Al comprender sus propiedades, podemos analizar y evaluar integrales definidas de manera efectiva, obteniendo información valiosa sobre el comportamiento de las funciones y sus relaciones.
